(1,8 Spontos) Calcule
integral-2^2 integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^2 x d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
integral-2^2integral-raiz4-y^2^raiz4-y^2integralraizx^2+y^2^2x,dz,dx,dy
O domínio V é dado por
V=(x,y,z)mid x^2+y^2<=4,;raizx^2+y^2<= z<=2,
isto é, a porção do cone z=raizx^2+y^2 até o plano z=2. Para resolver, usamos integração iterada em coordenadas cartesianas e exploramos simetria de integrando ímpar em x.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
integralraizx^2+y^2^2x,dz = x;l[zr]z=raizx^2+y^2^z=2 = xl(2-raizx^2+y^2r)

Passo 3

Restam as integrais em x e y sobre o disco x^2+y^2<=4:
integral duplax^2+y^2<=4xl(2-raizx^2+y^2r),dx,dy
Note que para cada ponto (x,y) no disco existe (-x,y), e
f(x,y)=xl(2-raizx^2+y^2r)
é função ímpar em x. Logo a integral sobre a região simétrica em x é zero.

Resposta

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