Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
sumn=1^+infty(-1)^n+1,1(2n)!
O conteúdo envolve séries de potências e, em particular, conhecemos a série de Taylor de cos x. Vamos usar essa informação para encontrar uma forma fechada para a soma.

Passo 2

Recordando a expansão em série de Taylor de cos x, temos
cos x = sumk=0^infty(-1)^k,x^2k(2k)!
Tomando x=1, obtemos
sumk=0^infty(-1)^k,1(2k)! = cos(1)

Passo 3

Definindo
S = sumn=1^infty(-1)^n+11(2n)!,
podemos reescrever cada termo como (-1)^n+1 = -(-1)^n, logo
S = -sumn=1^infty(-1)^n1(2n)! = -gl(sumn=0^infty(-1)^n1(2n)! - 1gr) = 1 - cos(1)

Passo 4

Calculando numericamente, sabemos que
cos(1)approx 0,540302,
portanto
S = 1 - cos(1)approx 1 - 0,540302 = 0,459698
Arredondando para três casas decimais, obtemos 0,460.

Resposta

0,460

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