Obtenha a soma da série infinita dada, com precisão de três casas decimais.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n 2^n

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
S = sumn=1^+infty(-1)^n+11n,2^n
Esse é um caso de série de potências alternante, e vamos usar a expansão conhecida
sumn=1^inftyx^nn = -lnl(1-xr),
válida para |x|<1.

Passo 2

Reescrevemos cada termo de S como
(-1)^n+11n,2^n = -,(-1)^nn,2^n = -,1nl(-tfrac12r)^n
Logo, se definirmos r = -tfrac12, temos
S = -sumn=1^inftyr^nn

Passo 3

Pela fórmula da série de potência, para |r|<1 vale
sumn=1^inftyr^nn = -lnl(1-rr)
Portanto
S = -l(-lnl(1-rr)r) = lnl(1-rr)

Passo 4

Substituindo r = -tfrac12, vem
S = ln!l(1 - (-tfrac12)r) = ln!l(tfrac32r)

Passo 5

Agora aproximamos numericamente
ln!l(tfrac32r)approx 0,405465ldots
Arredondando para três casas decimais, obtemos
Sapprox 0,405

Resposta

0,405

Exercícios relacionados