Podemos definir uma bijeção entre os elementos de Pn e de R^n por
p(x)=a1+a2 x+ldots+an x^n-1 rightarrow(a1, ldots, an)^T=a
Mostre que, se p rightarrow a e q rightarrow b, então
p+q rightarrow a+b.

Passo 1

O enunciado estabelece uma bijeção entre o espaço de polinômios de grau menor que n, denotado por Pn, e o espaço vetorial R^n por
p(x)=a1+a2x+cdots+anx^n-1 ;long<=ftrightarrow; a1 vdots an=a
Queremos mostrar que, se prightarrow a e qrightarrow b, então
p+q;rightarrow;a+b

Passo 2

Sejam
com vetores de coeficientes

Passo 3

Ao somar os polinômios, usamos que a soma é feita coeficiente a coeficiente:
(p+q)(x) = l(a1+b1r) + l(a2+b2r)x +cdots+ l(an+bnr)x^n-1

Passo 4

O vetor de coeficientes de p+q fica
a1+b1 a2+b2 vdots an+bn ,
que é exatamente a soma dos vetores a e b em R^n. Logo, sob a bijeção,
p+q ;long<=ftrightarrow; a+b

Resposta

p+qrightarrow a+b

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