Obtenha a transformada de Fourier de f(t)=[1+e^-t u(t)] cos 2 t.

Passo 1

No enunciado temos a função f(t) = [1 + e^-tu(t)]cos2t. Vamos calcular sua transformada de Fourier, usando a definição de transformada e as propriedades de linearidade, transformadas de sinusoides e de sinais amortecidos.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade para escrever a função como soma de duas partes:
f(t) = cos2t + e^-tu(t)cos2t

Passo 3

Para a parte cos2t, lembramos que a transformada de Fourier de cos(omega0 t) é
Fcos2t = pil[de

Passo 4

Para a parte e^-tu(t)cos2t, usamos que cos2t = tfrac12(e^j2t + e^-j2t) e a propriedade de modulação:
Fe^-tu(t)cos2t = tfrac12Fe^-tu(t)e^j2t + tfrac12Fe^-tu(t)e^-j2t
Como Fe^-tu(t) = tfrac11 + jomega (para Re(a)>0), temos
Fe^-tu(t)e^j2t = 11 + j(omega - 2), Fe^-tu(t)e^-j2t = 11 + j(omega + 2)
Logo,
Fe^-tu(t)cos2t = 12gl[11 + j(omega - 2) + 11 + j(omega + 2)gr]

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a transformada completa:
F(omega) = pil[de

Resposta

F(omega) = pi[de.

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