Resolução da equação diferencial não homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4 x^2+2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' + 3 y' + 2 y = 4 x^2 + 2 x + 1
Aqui, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução complementar (relacionada à equação homogênea) e a solução particular (devido ao lado direito não homogêneo, que é um polinômio).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
y'' + 3 y' + 2 y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Podemos fatorar:
(r + 1)(r + 2) = 0
Portanto, as raízes são:
r = -1 e r = -2

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução complementar é:
yc = C1 e^-x + C2 e^-2x
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ($ y_p $) da equação não homogênea:
yp
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau igual. Então, vamos assumir:
y'' + 3 y' + 2 y = 4 x^2 + 2 x + 1
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = 2 A x + B

Passo 7

Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp
Vamos expandir e simplificar:
yp'
Agrupando termos semelhantes:
yp''

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
x^2
Para $ x $:
2 A = 4 Rightarrow A = 2
Para o termo constante:
x

Passo 9

Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
A

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
y = yc + yp = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2 x^2 - 5 x + 6

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2 x^2 - 5 x + 6
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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