Resolução da equação diferencial não homogênea, usando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução complementar (relacionada à equação homogênea) e a solução particular (devido ao lado direito não homogêneo, que é um polinômio).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução complementar é:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular ($ y_p $) da equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau igual. Então, vamos assumir:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Passo 7
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Vamos expandir e simplificar:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
Para $ x $:
Para o termo constante:
Passo 9
Com os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.