Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

Tema: Transformada de Laplace inversa. Vamos inverter s-1s^2+6s+10 usando completamento de quadrado e o teorema do deslocamento complexo.

Passo 2

Completamos o quadrado no denominador:
s^2 + 6s + 10 = (s+3)^2 + 1

Passo 3

Ajustamos o numerador para casar com o deslocamento s+3. Note que
s - 1 = (s+3) - 4

Passo 4

Decompondo a fração em termos padrão:
s-1s^2+6s+10 = s+3(s+3)^2+1 - 4(s+3)^2+1

Passo 5

Aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1tfracs+3(s+3)^2+1 = e^-3tcos t e
L^-1tfrac1(s+3)^2+1 = e^-3tsin t.
Combinando, obtemos
f(t) = e^-3tcos t - 4,e^-3tsin t

Resposta

f(t) = e^{-3t}(\cos t - 4\sin t)

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