Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
A região limitada por torno:
a) do eixo
b) do eixo .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a região limitada por e , que será girada ao redor dos eixos e . Vamos usar métodos de revolução de sólidos: em torno do eixo usaremos o método das placas (washers) e em torno do eixo o método das cascas cilíndricas (shells).
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção igualando as curvas: . Elevando ao quadrado (ambas não-negativas) temos:
Logo ou (então ). Para esses valores, dá os pontos e .
Passo 3
Volume em torno do eixo : método das placas. O raio externo é e o interno é . Assim,
Calculando:
Logo Vx = pi,(8 - 3,2)=245pi
Passo 4
Volume em torno do eixo y: método das cascas cilíndricas. Cada casca a uma distância x do eixo y tem altura h(x)=raizx-tfracx^28. Assim,