Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
A região limitada por y=raizx e y=x^2 / 8 em torno:
  • a) do eixo x
  • b) do eixo y.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a região limitada por y=raizx e y=tfracx^28, que será girada ao redor dos eixos x e y. Vamos usar métodos de revolução de sólidos: em torno do eixo x usaremos o método das placas (washers) e em torno do eixo y o método das cascas cilíndricas (shells).

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção igualando as curvas: raizx=tfracx^28. Elevando ao quadrado (ambas não-negativas) temos:
x = x^464 implies xl(1 - x^364r)=0
Logo x=0 ou x^3=64 (então x=4). Para esses valores, y=raizx dá os pontos (0,0) e (4,2).

Passo 3

Volume em torno do eixo x: método das placas. O raio externo é R(x)=raizx e o interno é r(x)=tfracx^28. Assim,
Vx = pi integral0^4 l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx = pi integral0^4 l(x - x^464r),dx
Calculando:
integral0^4 x,dx = x^22|0^4 = 8, integral0^4 x^464,dx = 164cdotx^55|0^4 = 1024320=3,2
Logo Vx = pi,(8 - 3,2)=245pi

Passo 4

Volume em torno do eixo y: método das cascas cilíndricas. Cada casca a uma distância x do eixo y tem altura h(x)=raizx-tfracx^28. Assim,
Vy = 2pi integral0^4 x,h(x),dx = 2pi integral0^4 l(x^3/2 - x^38r),dx
Calculando:
integral0^4 x^3/2dx = 25x^5/2|0^4 = 645, integral0^4 x^38dx = 18cdotx^44|0^4 = 8
Logo Vy = 2pi,(645 - 8)=485pi

Resposta

a) Vx=tfrac245pi, b) Vy=tfrac485pi.

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