Resolva as seguintes equações diferenciais:
Condições iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais. As informações dadas são:
com condições iniciais
Ou seja: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes e que atende às duas condições iniciais no instante
.
Passo 2
Vamos escolher um método padrão e simples: procurar soluções da forma exponencial
. Por que isso funciona? Explicando devagar: para equações lineares com coeficientes constantes, derivadas de uma exponencial geram novamente exponenciais proporcionais, então ao substituir
na equação cada termo será múltiplo de
e podemos cancelar esse fator não-nulo, obtendo um polinômio em
. Esse polinômio é chamado de equação característica e seus zeros indicam os valores de
que dão soluções do tipo
.
Substituindo
na equação:
Substituindo na ODE:
Como
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Resolva a equação característica
. Essa é uma quadrática simples que podemos fatorar:
Logo as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calcule a derivada
para usar a condição inicial
. Derivando termo a termo:
Agora aplique as condições iniciais em
:
para :
para
para
:
Temos, portanto, o sistema linear para
e
:
Passo 5
Resolva o sistema. Uma maneira direta é somar as duas equações para eliminar
. Somando:
Logo
Substitua
em
:
Passo 6
Agora substituímos as constantes encontradas na solução geral. Assim
Vale a pena checar rapidamente as condições iniciais:
e
dá
. Ambas conferem, então a solução está correta. Um comentário final intuitivo: a solução é combinação de decaimentos exponenciais com taxas diferentes (
e
), e as constantes foram ajustadas para atender às condições iniciais.