Resolva as seguintes equações diferenciais:
\displaystyle x^{\prime \prime}(t)+3 x^{\prime}(t)+2 x(t)=0
Condições iniciais:
\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x(0)=1 \\\ x^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais. As informações dadas são:
x''(t)+3x'(t)+2x(t)=0
com condições iniciais
x(0)=1,\qquad x'(0)=0.
Ou seja: encontrar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes e que atende às duas condições iniciais no instante t=0.

Passo 2

Vamos escolher um método padrão e simples: procurar soluções da forma exponencial \,x(t)=e^{rt}\,. Por que isso funciona? Explicando devagar: para equações lineares com coeficientes constantes, derivadas de uma exponencial geram novamente exponenciais proporcionais, então ao substituir \,x(t)=e^{rt}\, na equação cada termo será múltiplo de e^{rt} e podemos cancelar esse fator não-nulo, obtendo um polinômio em r. Esse polinômio é chamado de equação característica e seus zeros indicam os valores de r que dão soluções do tipo e^{rt}.
Substituindo \,x(t)=e^{rt}\, na equação:
x'(t)=r e^{rt},\qquad x''(t)=r^2 e^{rt}.
Substituindo na ODE:
r^2 e^{rt} + 3 r e^{rt} + 2 e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0.

Passo 3

Resolva a equação característica \,r^2+3r+2=0\,. Essa é uma quadrática simples que podemos fatorar:
r^2+3r+2=(r+1)(r+2).
Logo as raízes são
r=-1\quad\text{e}\quad r=-2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
x(t)=C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcule a derivada x'(t) para usar a condição inicial x'(0)=0. Derivando termo a termo:
x'(t) = -C_1 e^{-t} - 2 C_2 e^{-2t}.
Agora aplique as condições iniciais em t=0:
para x(0)=1:
x(0)=C_1 + C_2 = 1.
para x'(0)=0:
x'(0) = -C_1 - 2 C_2 = 0.
Temos, portanto, o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] - C_1 - 2 C_2 = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolva o sistema. Uma maneira direta é somar as duas equações para eliminar C_1. Somando:
(C_1 + C_2) + (-C_1 - 2C_2) = 1 + 0 \quad\Rightarrow\quad -C_2 = 1.
Logo
C_2 = -1.
Substitua C_2 em C_1 + C_2 = 1:
C_1 + (-1) = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 2.

Passo 6

Agora substituímos as constantes encontradas na solução geral. Assim
x(t) = 2 e^{-t} - e^{-2t}.
Vale a pena checar rapidamente as condições iniciais: x(0)=2-1=1 e x'(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t} x'(0)=-2+2=0. Ambas conferem, então a solução está correta. Um comentário final intuitivo: a solução é combinação de decaimentos exponenciais com taxas diferentes ( e^{-t} e e^{-2t}), e as constantes foram ajustadas para atender às condições iniciais.

Resposta

x(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

Exercícios relacionados