Anotei todas as funções e que preciso calcular as integrais transformadas correspondentes a partir de 0 até \infty. A partir daqui eu vou aplicar propriedades e fórmulas da transformada de Laplace para cada termo, explicando passo a passo.
Passo 2
Definição e propriedades que vou usar (explicação didática curta e clara):
Observação sobre convergência: a interseção das regiões é \operatorname{Re}(s)>0 (devido ao termo -1{,}25/s), então a expressão vale para \operatorname{Re}(s)>0.
Passo 4
Calcular \mathcal{L}\{t^{2}\} com demonstração por integração por partes (para você saber fazer na prova).
Faço integração por partes duas vezes. Primeiro, escolha u=t^{2} e dv=e^{-st}dt. Então du=2t\,dt e v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Aplicando integração por partes:
O termo de fronteira \left. -\dfrac{t^{2}}{s} e^{-st} \right|_{0}^{\infty}=0 para \operatorname{Re}(s)>0, porque o exponencial domina o polinômio. Agora resta calcular \int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt. Faço outra integração por partes: tome u=t, dv=e^{-st}dt, então du=dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim