Obtenha a transposta das seguintes matrizes
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: temos a matriz
O que o enunciado pede: obter a transposta dessa matriz (ou seja, calcular
).
Informações importantes e observações úteis que já podemos anotar sem resolver nada ainda: a matriz é de tamanho
, ou seja, tem
linhas e
colunas.]
Informações importantes e observações úteis que já podemos anotar sem resolver nada ainda: a matriz
Passo 2
Definição (explicada passo a passo): seja uma matriz genérica
de tamanho
, onde
é o elemento que está na linha
e coluna
. A transposta de
, denotada
, é a matriz obtida trocando linhas por colunas; em termos de componentes isso significa
isto é, o elemento que estava na linha
e coluna
de
passa para a linha
e coluna
em
. Aqui
e
trocam de papel:
tem tamanho
.
Passo 3
Regra prática para matrizes pequenas: para uma matriz
a transposta é obtida trocando
com
, ficando
Explicação intuitiva: as entradas da diagonal (
e
) permanecem nas mesmas posições porque estão em
e
; já as entradas fora da diagonal trocam de posição porque a entrada em
vai para
e a de
vai para
.]
Passo 4
Aplicando a regra ao caso concreto: identifique os elementos da matriz
com
:
Usando a fórmula do passo anterior,
Mostrei a troca: a entrada
de
era
e foi colocada em
de
; a entrada
de
era
e foi colocada em
de
.]
Passo 5
Observação final e dica de prova: note que
ficou exatamente igual a
. Quando isso acontece dizemos que a matriz é simétrica, isto é, satisfaz
. Em prova, ao ver uma matriz pequena, verifique rapidamente se os elementos fora da diagonal se repetem — isso poupa trabalho.