Obtenha a transposta das seguintes matrizes
B=\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\\ 4 & 9\end{array}\right]

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: temos a matriz
B=\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\[4pt] 4 & 9\end{array}\right].
O que o enunciado pede: obter a transposta dessa matriz (ou seja, calcular B^\top).
Informações importantes e observações úteis que já podemos anotar sem resolver nada ainda: a matriz B é de tamanho (2\times 2), ou seja, tem 2 linhas e 2 colunas.]

Passo 2

Definição (explicada passo a passo): seja uma matriz genérica A=(a_{ij}) de tamanho (m\times n), onde a_{ij} é o elemento que está na linha i e coluna j. A transposta de A, denotada A^\top, é a matriz obtida trocando linhas por colunas; em termos de componentes isso significa
A^\top=(a_{ji}),
isto é, o elemento que estava na linha i e coluna j de A passa para a linha j e coluna i em A^\top. Aqui m e n trocam de papel: A^\top tem tamanho (n\times m).

Passo 3

Regra prática para matrizes pequenas: para uma matriz 2\times 2
\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right],
a transposta é obtida trocando b com c, ficando
\left[\begin{array}{cc}a & c \\[4pt] b & d\end{array}\right].
Explicação intuitiva: as entradas da diagonal ( a e d) permanecem nas mesmas posições porque estão em (1,1) e (2,2); já as entradas fora da diagonal trocam de posição porque a entrada em (1,2) vai para (2,1) e a de (2,1) vai para (1,2).]

Passo 4

Aplicando a regra ao caso concreto: identifique os elementos da matriz B com a,b,c,d:
a=-3,\qquad b=4,\qquad c=4,\qquad d=9.
Usando a fórmula do passo anterior,
B^\top=\left[\begin{array}{cc}a & c \\[4pt] b & d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\[4pt] 4 & 9\end{array}\right].
Mostrei a troca: a entrada (1,2) de B era \,4 e foi colocada em (2,1) de B^\top; a entrada (2,1) de B era \,4 e foi colocada em (1,2) de B^\top.]

Passo 5

Observação final e dica de prova: note que B^\top ficou exatamente igual a B. Quando isso acontece dizemos que a matriz é simétrica, isto é, satisfaz B^\top=B. Em prova, ao ver uma matriz pequena, verifique rapidamente se os elementos fora da diagonal se repetem — isso poupa trabalho.

Resposta

B^\top=\left[\begin{array}{cc}-3 & 4 \\[4pt] 4 & 9\end{array}\right]]

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