Prove que se um grupo
de ordem 28 tem um subgrupo normal de ordem 4, então
é abeliano.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo de ordem
e que existe um subgrupo normal
de ordem
. O que vamos usar é que
- Grupos de ordem
são abelianos e têm grupo de autmorfismos pequeno. - O quociente
tem ordem , então é cíclico de ordem prima. - A conjugação por um elemento de
define um automorfismo de .
Passo 2
Como
, sabe-se que
é abeliano. E como
(que é primo), temos
ou seja, existe
tal que
Passo 3
Definimos o mapa
Como
,
é um automorfismo de
. Note ainda que na quociente
tem ordem
, logo
Assim
mas como
e
é abeliano,
. Portanto
Passo 4
Isto mostra que o automorfismo
tem ordem dividindo
. Mas os únicos grupos de automorfismos possíveis para um grupo de ordem
são
cujos elementos têm ordem no máximo
. Logo a única forma de
ter ordem que divida
é ser trivial, isto é,