Prove que se um grupo G de ordem 28 tem um subgrupo normal de ordem 4, então G é abeliano.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo de ordem lvert Grvert=28 e que existe um subgrupo normal N de ordem lvert Nrvert=4. O que vamos usar é que
  1. Grupos de ordem 4 são abelianos e têm grupo de autmorfismos pequeno.
  2. O quociente G/N tem ordem tfrac284=7, então é cíclico de ordem prima.
  3. A conjugação por um elemento de G define um automorfismo de N.

Passo 2

Como lvert Nrvert=4, sabe-se que N é abeliano. E como lvert G/Nrvert=7 (que é primo), temos
G/Ncong C7,
ou seja, existe gin G tal que
G/N=lang<= gNrang<= Longrightarrow G=lang<= N,,grang<=

Passo 3

Definimos o mapa
varphicolon Nto N, varphi(n)=g,n,g^-1
Como Nlhd G, varphi é um automorfismo de N. Note ainda que na quociente gN tem ordem 7, logo
g^7in N
Assim
varphi^7(n) = g^7,n,g^-7
mas como g^7in N e N é abeliano, g^7,n,g^-7=n. Portanto
varphi^7=idN

Passo 4

Isto mostra que o automorfismo tem ordem dividindo . Mas os únicos grupos de automorfismos possíveis para um grupo de ordem são
cujos elementos têm ordem no máximo . Logo a única forma de ter ordem que divida é ser trivial, isto é,

Passo 5

varphi trivial significa g,n,g^-1=n para todo nin N, ou seja, g comuta com cada elemento de N. Como G é gerado por N e g e todos esses elementos se comutam, concluímos que G é abeliano.

Resposta

G é abeliano.

Exercícios relacionados