Discuta o número e a normalidade dos 3-subgrupos de Sylow e 5-subgrupos de Sylow do grupo de ordem 3^2 cdot 5^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, num grupo G de ordem
lvert Grvert =3^2cdot5^2=9cdot25=225,
os possíveis valores de n3, o número de 3-subgrupos de Sylow, e de n5, o número de 5-subgrupos de Sylow, e dizer quais desses Sylow-subgrupos são obrigatoriamente normais. Vamos usar os teoremas de Sylow:
  1. npequiv1pmod p.
  2. np divide o índice do Sylow- p em G.

Passo 2

Para os 3-subgrupos de Sylow temos lvert P3rvert=3^2=9. Então n3 deve satisfazer
  1. n3equiv1pmod3,
  2. n3mid25.
    Os divisores de 25 são 1,5,25, e entre eles apenas 1 e 25 são congruentes a 1 módulo 3. Logo
n3in1,,25

Passo 3

Como qualquer Sylow-subgrupo único é normal, concluímos:
— Se n3=1, o único 3-Sylow é normal em G.
— Se n3=25, existem 25 Sylow-3 distintos e, portanto, nenhum deles é normal.

Passo 4

Para os 5-subgrupos de Sylow temos lvert P5rvert=5^2=25. Então n5 deve satisfazer
  1. n5equiv1pmod5,
  2. n5mid9.
    Os divisores de 9 são 1,3,9, e apenas 1equiv1pmod5. Logo
n5=1,
e portanto o único Sylow-5 é necessariamente normal em G.

Passo 5

Em resumo, pelos teoremas de Sylow:
n3=1 ou 25, sendo o Sylow-3 normal apenas no caso n3=1.
n5=1 sempre, logo o Sylow-5 é sempre normal.

Resposta

Para um grupo de ordem 3^2cdot5^2:
— O número de Sylow-3 satisfaz n3in1,25; é normal somente se n3=1.
— O número de Sylow-5 é n5=1, logo o Sylow-5 é sempre normal.

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