Discuta o número e a normalidade dos 3-subgrupos de Sylow e 5-subgrupos de Sylow do grupo de ordem
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, num grupo
de ordem
os possíveis valores de
, o número de 3-subgrupos de Sylow, e de
, o número de 5-subgrupos de Sylow, e dizer quais desses Sylow-subgrupos são obrigatoriamente normais. Vamos usar os teoremas de Sylow:
-
. -
divide o índice do Sylow- em .
Passo 2
Para os 3-subgrupos de Sylow temos
. Então
deve satisfazer
-
, -
.
Os divisores de 25 são, e entre eles apenas e são congruentes a módulo . Logo
Passo 3
Como qualquer Sylow-subgrupo único é normal, concluímos:
— Se , o único 3-Sylow é normal em
.
— Se , existem 25 Sylow-3 distintos e, portanto, nenhum deles é normal.
— Se
— Se
Passo 4
Para os 5-subgrupos de Sylow temos
. Então
deve satisfazer
-
, -
.
Os divisores de 9 são, e apenas . Logo
e portanto o único Sylow-5 é necessariamente normal em
.
Passo 5
Em resumo, pelos teoremas de Sylow:
— ou
, sendo o Sylow-3 normal apenas no caso
.
— sempre, logo o Sylow-5 é sempre normal.
—
—
Resposta
Para um grupo de ordem
:
— O número de Sylow-3 satisfaz ; é normal somente se
.
— O número de Sylow-5 é , logo o Sylow-5 é sempre normal.
— O número de Sylow-3 satisfaz
— O número de Sylow-5 é