Obtenha o valor das integrais de linhas: onde é a fronteira do triângulo de vértices e ,
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é . A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho , que é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , e calcular a integral em cada trecho desse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o caminho em três segmentos, cada um correspondendo a uma aresta do triângulo:
De a
De a
De de volta a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.
Passo 3
Segmento 1: De a
Aqui, permanece constante em 0, e varia de 0 a 1. Então, podemos parametrizar esse trecho como:
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:
Passo 4
Segmento 2: De x(t) = t y(t) = 1 + t onde t in [0, 1] a dxdt = 1 dydt = 1
Aqui, integral0^1 [(t - (1 + t)) cdot 1 + e^t + (1 + t) cdot 1] , dt = integral0^1 (-1) + e^2t + 1 , dt = integral0^1 -1 , dt + integral0^1 e^2t + 1 , dt varia de 0 a 1 e integral0^1 -1 , dt = -t gr|0^1 = -1 varia de 1 a 2. Podemos parametrizar esse trecho como: