Obtenha o valor das integrais de linhas:
integralC(x-y) d x+e^x+y d y onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,2),
percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é integralC(x-y) , dx + e^x+y , dy. A gente vai trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o caminho , que é a fronteira de um triângulo com vértices em , e , e calcular a integral em cada trecho desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o caminho em três segmentos, cada um correspondendo a uma aresta do triângulo:
  1. De a
  2. De a
  3. De de volta a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.

Passo 3

Segmento 1: De x(t) = 0 y(t) = t onde t in [0, 1] a dxdt = 0 dydt = 1
Aqui, integral0^1 [(0 - t) cdot 0 + e^0 + t cdot 1] , dt = integral0^1 e^t , dt = e^t gr|0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 permanece constante em 0, e varia de 0 a 1. Então, podemos parametrizar esse trecho como:
Derivando em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 4

Segmento 2: De x(t) = t y(t) = 1 + t onde t in [0, 1] a dxdt = 1 dydt = 1
Aqui, integral0^1 [(t - (1 + t)) cdot 1 + e^t + (1 + t) cdot 1] , dt = integral0^1 (-1) + e^2t + 1 , dt = integral0^1 -1 , dt + integral0^1 e^2t + 1 , dt varia de 0 a 1 e integral0^1 -1 , dt = -t gr|0^1 = -1 varia de 1 a 2. Podemos parametrizar esse trecho como:
integral0^1 e^2t + 1 , dt = 12 e^2t + 1 gr|0^1 = 12(e^3 - e^1)
Derivando em relação a -1 + 12(e^3 - e) = e^3 - e - 22 :
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Então, o total deste segmento é:

Passo 5

Segmento 3: De x(t) = 1 - t y(t) = 2 - 2t onde t in [0, 1] a dxdt = -1 dydt = -2
Aqui, integral0^1 [( (1 - t) - (2 - 2t)) cdot (-1) + e^(1 - t) + (2 - 2t) cdot (-2)] , dt = integral0^1 [(-1 + t) cdot (-1) + e^3 - 3t cdot (-2)] , dt = integral0^1 (1 - t) - 2e^3 - 3t , dt varia de 1 a 0 e integral0^1 (1 - t) , dt = t - t^22 gr|0^1 = 1 - 12 = 12 varia de 2 a 0. Podemos parametrizar esse trecho como:
integral0^1 -2e^3 - 3t , dt = -2 cdot ( -13 e^3 - 3t ) gr|0^1 = 23(e^0 - e^3) = 23(1 - e^3)
Derivando em relação a 12 + 23(1 - e^3) = 36 + 46(1 - e^3) = 3 + 4 - 4e^36 = 7 - 4e^36 :
Substituindo na integral:
Calculando cada parte:
Então, o total deste segmento é:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
(e - 1) + e^3 - e - 22 + 7 - 4e^36 = 3(e - 1) + 3(e^3 - e - 2) + (7 - 4e^3)6 = 3e - 3 + 3e^3 - 3e - 6 + 7 - 4e^36 = -e^3 - 26
Portanto, o valor da integral de linha é:
-e^3 + 26

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