Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
b)
b)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem usando a Transformada de Laplace. O problema envolve encontrar a função
que satisfaz a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e utilizar as propriedades das transformadas para resolver para
, a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando essas transformadas na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Distribuindo e juntando os termos:
Agrupando os termos que contêm
:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Vamos isolar
:
Fatorando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos separar os termos:
Usaremos frações parciais para simplificar cada termo.
Primeiro, para
:
Resolvendo para
,
e
, encontramos os valores apropriados.
Para
:
Resolvendo para
e
de forma similar.
Passo 6
Após determinar os valores das constantes, a Transformada Inversa de Laplace nos dará
. Cada termo de
corresponde a uma função no domínio do tempo:
- Termos como
correspondem a . - Termos como
correspondem a combinações de exponenciais.
Com todas as partes resolvidas e somadas, obtemos a solução completa para
.
Resposta
A solução da equação diferencial é