Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
b) y^prime prime+7 y^prime+12 y & =21 e^3 x y(0)=1 & y^prime(0)=3

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem usando a Transformada de Laplace. O problema envolve encontrar a função y'' + 7y' + 12y = 21e^3x que satisfaz a equação
com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e utilizar as propriedades das transformadas para resolver para , a transformada de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Le^ax = 1s - a
Aplicando essas transformadas na equação, temos:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 3 + 7(s Y(s) - 1) + 12 Y(s) = 21s - 3

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Distribuindo e juntando os termos:
s^2 Y(s) - s - 3 + 7s Y(s) - 7 + 12 Y(s) = 21s - 3
Agrupando os termos que contêm (s^2 + 7s + 12) Y(s) = 21s - 3 + s + 3 + 7 :
(s^2 + 7s + 12) Y(s) = 21s - 3 + s + 10
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Vamos isolar Y(s) = 21s - 3 + s + 10s^2 + 7s + 12 :
s^2 + 7s + 12 = (s + 3)(s + 4)
Fatorando o denominador:
Y(s) = 21(s - 3)(s + 3)(s + 4) + s + 10(s + 3)(s + 4)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Para encontrar Y(s) = 21(s - 3)(s + 3)(s + 4) + s + 10(s + 3)(s + 4) , precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Vamos separar os termos:
21(s - 3)(s + 3)(s + 4) = As - 3 + Bs + 3 + Cs + 4
Usaremos frações parciais para simplificar cada termo.
Primeiro, para s + 10(s + 3)(s + 4) = Ds + 3 + Es + 4 :
Resolvendo para , e , encontramos os valores apropriados.
Para :
Resolvendo para e de forma similar.

Passo 6

Após determinar os valores das constantes, a Transformada Inversa de Laplace nos dará . Cada termo de corresponde a uma função no domínio do tempo:
  • Termos como correspondem a .
  • Termos como correspondem a combinações de exponenciais.
Com todas as partes resolvidas e somadas, obtemos a solução completa para .

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(x) = 37 e^-3x + 187 e^-4x + 3 e^3x

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