Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
f) mathscrL^-1[s^2+6 s+9(s-1)(s-2)(s+4)]

Passo 1

Primeiro a gente nota que para usar a convolução a gente precisa escrever a função como produto de duas partes em domínio de Laplace, ou seja, F(s)=1s-1cdots^2+6s+9(s-2)(s+4). Vamos usar o teorema da convolução que diz mathscrL^-1[F(s)G(s)]=f*g.

Passo 2

Simplificamos a fração s^2+6s+9(s-2)(s+4) por divisão polinomial. Como (s-2)(s+4)=s^2+2s-8, temos
s^2+6s+9=(s^2+2s-8)+(4s+17)
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s^2+6s+9(s-2)(s+4)=1+4s+17(s-2)(s+4)

Passo 3

A função em s fica
s^2+6s+9(s-1)(s-2)(s+4)=1s-1+1s-1cdot4s+17(s-2)(s+4)
O primeiro termo dá direto e^t. O segundo a gente trata por convolução entre e^t e h(t)=mathscrL^-1[tfrac4s+17(s-2)(s+4)].

Passo 4

Para achar h(t) fazemos frações parciais em 4s+17(s-2)(s+4). Escrevemos
4s+17(s-2)(s+4)=As-2+Bs+4
Igualando numeradores temos 4s+17=A(s+4)+B(s-2). Resolvendo: A+B=4 e 4A-2B=17, o que dá A=25/6 e B=-1/6. Então
h(t)=tfrac256e^2t-tfrac16e^-4t

Passo 5

Aplicando a convolução
mathscrL^-1l[tfrac1s-1cdottfrac4s+17(s-2)(s+4)r](t)=integral0^te^t-taul(tfrac256e^2tau-tfrac16e^-4taur),dtau
Separamos em duas integrais e calculamos:
1) tfrac256e^tintegral0^te^taudtau=tfrac256e^t(e^t-1)
2) -tfrac16e^tintegral0^te^-5taudtau=-tfrac130e^t(1-e^-5t)

Passo 6

Somando o termo e^t do primeiro pedacinho e os resultados da convolução:
f(t)=e^t+tfrac256e^t(e^t-1)-tfrac130e^t(1-e^-5t)
Fazendo a conta e recolhendo termos a gente chega em
f(t)=-tfrac165e^t+tfrac256e^2t+tfrac130e^-4t

Resposta

f(t)=-tfrac165e^t+tfrac256e^2t+tfrac130e^-4t

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