Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede a transformada inversa de
usando a convolução. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace e, para isso, vamos precisar usar o Teorema da Convolução. Basicamente, vamos decompor a função em partes que conhecemos a transformada inversa e, depois, combinar essas partes para achar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que queremos transformar de volta:
Para facilitar, vamos separar essa fração em duas partes que multiplicadas dão a original:
Aqui, identificamos duas funções cujas transformadas inversas conhecemos:
e
.
Passo 3
Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas partes individualmente:
-
Isso porque sabemos que
. -
Isso vem da propriedade
. Aqui, .
Passo 4
Com as duas funções inversas em mãos, vamos aplicar o Teorema da Convolução. Esse teorema nos diz que a transformada inversa do produto de duas transformadas é a convolução das transformadas inversas individuais. Ou seja:
A convolução
é definida como:
Passo 5
Vamos calcular a convolução:
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples ou integração por partes. Após realizar os cálculos, chegamos a:
Resposta
A transformada inversa é
.