Usando a convolução, calcule a transformada inversa das seguintes funções:
a) mathscrL^-1[1(s^2+1) s^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede a transformada inversa de usando a convolução. Estamos trabalhando com Transformadas de Laplace e, para isso, vamos precisar usar o Teorema da Convolução. Basicamente, vamos decompor a função em partes que conhecemos a transformada inversa e, depois, combinar essas partes para achar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que queremos transformar de volta:
mathscrL^-1[1(s^2+1) s^2]
Para facilitar, vamos separar essa fração em duas partes que multiplicadas dão a original:
1(s^2+1) s^2 = 1s^2 cdot 1s^2+1
Aqui, identificamos duas funções cujas transformadas inversas conhecemos: e .

Passo 3

Agora, vamos achar a transformada inversa de cada uma dessas partes individualmente:
  1. Isso porque sabemos que .
  2. Isso vem da propriedade . Aqui, .

Passo 4

Com as duas funções inversas em mãos, vamos aplicar o Teorema da Convolução. Esse teorema nos diz que a transformada inversa do produto de duas transformadas é a convolução das transformadas inversas individuais. Ou seja:
mathscrL^-1[1s^2 cdot 1s^2+1] = (t) * (sin(t))
A convolução (f * g)(t) = integral0^t f(tau) cdot g(t - tau) , dtau é definida como:

Passo 5

Vamos calcular a convolução:
(t) * (sin(t)) = integral0^t tau cdot sin(t - tau) , dtau
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples ou integração por partes. Após realizar os cálculos, chegamos a:
t - sin(t)

Resposta

A transformada inversa é .

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