Seja f contínua e periódica de período p.
A função F(x)=integral0^x f(t) d t é necessariamente periódica?

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a função f é contínua e periódica de período p. Precisamos verificar se F(x)=integral0^xf(t),dt também é periódica. Para isso, vamos usar propriedades de integrais definidas e da periodicidade.

Passo 2

Vamos calcular F(x+p) e comparar com F(x).
Separe a integral em dois trechos:
F(x+p)=integral0^x+pf(t),dt=integral0^pf(t),dt+integralp^x+pf(t),dt

Passo 3

Agora aplicamos a periodicidade de f. Como f(t+p)=f(t), fazemos a mudança de variável u=t-p na segunda integral:
integralp^x+pf(t),dt=integral0^xf(u),du=F(x)

Passo 4

Então obtemos
F(x+p)=integral0^pf(t),dt+F(x)

Passo 5

Isso mostra que F(x+p) difere de F(x) por uma constante C=integral0^pf(t),dt. Logo, F será periódica de período p se, e só se, essa constante for zero.
Em outras palavras, F é periódica se, e somente se, integral0^pf(t),dt=0. Caso contrário, F não é periódica.

Resposta

A função F é periódica se, e somente se, integral0^pf(t),dt=0. Caso esse integral não seja zero, F não é periódica.

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