Seja
contínua e periódica de período
.
A função
é necessariamente periódica?
A função
Passo 1
Vamos resumir o que temos: a função
é contínua e periódica de período
. Precisamos verificar se
também é periódica. Para isso, vamos usar propriedades de integrais definidas e da periodicidade.
Passo 2
Vamos calcular
e comparar com
.
Separe a integral em dois trechos:
Separe a integral em dois trechos:
Passo 3
Agora aplicamos a periodicidade de
. Como
, fazemos a mudança de variável
na segunda integral:
Passo 4
Então obtemos
Passo 5
Isso mostra que
difere de
por uma constante
. Logo,
será periódica de período
se, e só se, essa constante for zero.
Em outras palavras, é periódica se, e somente se,
. Caso contrário,
não é periódica.
Em outras palavras,
Resposta
A função
é periódica se, e somente se,
. Caso esse integral não seja zero,
não é periódica.