Obtenha um valor real positivo para
de tal forma que ao girarmos em torno da reta
a região compreendida entre as curvas
e
, o sólido gerado tenha volume
unidades de volume.
Passo 1
O enunciado pede um valor positivo de
tal que ao girarmos em torno da reta
a região limitada por
- a reta horizontal
, - o gráfico
, - a reta vertical
,
o volume do sólido gerado seja.
O conteúdo principal aqui é cálculo de volume de sólido de revolução usando o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Para cada
em
(note que em
as duas curvas se tocam em
), ao girar a altura
em torno de
formamos um disco de raio
e espessura
. A área desse disco é
Passo 3
O volume total é a integral dessa área de
até
:
Fatorando
:
Passo 4
Para calcular
, use a substituição
Quando
,
; quando
,
. Logo
Portanto
Passo 5
Impondo
, temos
Tomando logaritmo natural:
escolhendo o sinal positivo.