Obtenha um valor real positivo para a de tal forma que ao girarmos em torno da reta y=1 a região compreendida entre as curvas y=1, x=a e y=1+\sqrt{x} e^{x^{2}}, o sólido gerado tenha volume 2 \pi unidades de volume.

Passo 1

O enunciado pede um valor positivo de a tal que ao girarmos em torno da reta y=1 a região limitada por
  1. a reta horizontal \,y=1,
  2. o gráfico \,y=1+\sqrt{x}\,e^{x^2},
  3. a reta vertical \,x=a,
    o volume do sólido gerado seja 2\pi.
    O conteúdo principal aqui é cálculo de volume de sólido de revolução usando o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Para cada x em [0,a] (note que em x=0 as duas curvas se tocam em y=1), ao girar a altura
\Delta y = \bigl(1+\sqrt{x}\,e^{x^2}\bigr) - 1 = \sqrt{x}\,e^{x^2}
em torno de y=1 formamos um disco de raio
R(x)=\sqrt{x}\,e^{x^2}
e espessura dx. A área desse disco é
\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2} =\pi\bigl(\sqrt{x}\,e^{x^2}\bigr)^{2} =\pi\,x\,e^{2x^2}.

Passo 3

O volume total é a integral dessa área de x=0 até x=a:
V = \int_{0}^{a} \pi\,x\,e^{2x^2}\,dx.
Fatorando \pi:
V = \pi \int_{0}^{a} x\,e^{2x^2}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{a} x\,e^{2x^2}\,dx, use a substituição
u = 2x^2, \quad du = 4x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{4}.
Quando x=0, u=0; quando x=a, u=2a^2. Logo
\int_{0}^{a} x\,e^{2x^2}\,dx = \int_{0}^{2a^2} e^{u}\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{2a^2} = \frac{1}{4}\bigl(e^{2a^2}-1\bigr).
Portanto
V = \pi \cdot \frac{1}{4}\bigl(e^{2a^2}-1\bigr) = \frac{\pi}{4}\bigl(e^{2a^2}-1\bigr).

Passo 5

Impondo V=2\pi, temos
\frac{\pi}{4}\bigl(e^{2a^2}-1\bigr)=2\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4}\bigl(e^{2a^2}-1\bigr)=2 \quad\Longrightarrow\quad e^{2a^2}-1=8 \quad\Longrightarrow\quad e^{2a^2}=9.
Tomando logaritmo natural:
2a^2=\ln 9 \quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac{\ln 9}{2}=\ln 3 \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{\ln 3},
escolhendo o sinal positivo.

Resposta

a = \sqrt{\ln 3}

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