Calcule a área da região limitada pela função f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de
f(x) = \frac{1}{x^2+1}
e o eixo x. Como f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R} e a região “se estende” até x\to\pm\infty, essa área é dada pelo integral impróprio
A = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 2

Escrevemos o integral impróprio como limite de um integral definido em [-R,R]:
A = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}\frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 3

Para calcular \int \frac{1}{x^2+1}\,dx usamos o fato de que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{x^2+1},
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\int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan x + C.

Passo 4

Aplicando a primitiva no intervalo [-R,R] temos
\int_{-R}^{R}\frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan(R) - \arctan(-R).
Como \lim_{R\to\infty}\arctan(R)=\tfrac{\pi}{2} e \lim_{R\to\infty}\arctan(-R)=-\tfrac{\pi}{2}, segue
A = \frac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \pi.

Resposta

\pi

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