Obtenha o volume do sólido gerado ao girarmos em torno do eixo y a região limitada pela curva y=\cos (x) para \frac{\pi}{2} \leq x \leq 4 \pi e o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região entre a curva
y=\cos(x),\quad \frac{\pi}{2}\le x\le4\pi
e o eixo x.
Para volumes por revolução em torno de y é conveniente usar o método das cascas cilíndricas, em que cada casca, a abscissa x fixa, tem raio x e altura igual à distância entre a curva e o eixo x, ou seja \lvert\cos(x)\rvert.

Passo 2

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
V = 2\pi \int_{\pi/2}^{4\pi} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx =2\pi \int_{\pi/2}^{4\pi} x\,\lvert\cos(x)\rvert\,dx.

Passo 3

Precisamos eliminar o valor absoluto, dividindo o intervalo nos pontos em que \cos(x)=0. Esses zeros em [\tfrac{\pi}{2},4\pi] ocorrem em \tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}.
Em cada subintervalo \lvert\cos(x)\rvert é
\begin{cases} -\cos(x),&\pi/2\le x\le3\pi/2,\\\\ +\cos(x),&3\pi/2\le x\le5\pi/2,\\\\ -\cos(x),&5\pi/2\le x\le7\pi/2,\\\\ +\cos(x),&7\pi/2\le x\le4\pi. \end{cases}

Passo 4

Logo
V=2\pi\Bigl[ - \int_{\pi/2}^{3\pi/2}x\cos(x)\,dx + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2}x\cos(x)\,dx - \int_{5\pi/2}^{7\pi/2}x\cos(x)\,dx + \int_{7\pi/2}^{4\pi}x\cos(x)\,dx \Bigr].

Passo 5

Calculemos a primitiva de x\cos(x) por integração por partes:
escolha u=x, dv=\cos(x)\,dx, então du=dx, v=\sin(x).
Assim
\int x\cos(x)\,dx = x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx = x\sin(x)+\cos(x)+C.
Definimos
F(x)=x\sin(x)+\cos(x).

Passo 6

Avalie em cada limite:
\begin{aligned} F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=\tfrac{\pi}{2}\cdot1+0=\tfrac{\pi}{2},& F\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)&=\tfrac{3\pi}{2}\cdot(-1)+0=-\tfrac{3\pi}{2},\\\ F\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)&=\tfrac{5\pi}{2}\cdot1+0=\tfrac{5\pi}{2},& F\bigl(\tfrac{7\pi}{2}\bigr)&=\tfrac{7\pi}{2}\cdot(-1)+0=-\tfrac{7\pi}{2},\\\ F(4\pi)&=4\pi\cdot0+1=1. \end{aligned}
Substituindo em cada integral, obtemos
V=2\pi\Bigl[ -\bigl(F(3\pi/2)-F(\pi/2)\bigr) +\bigl(F(5\pi/2)-F(3\pi/2)\bigr) -\bigl(F(7\pi/2)-F(5\pi/2)\bigr) +\bigl(F(4\pi)-F(7\pi/2)\bigr) \Bigr].
Isso dá
-\bigl(-2\pi\bigr)+4\pi+6\pi+(1+\tfrac{7\pi}{2}) =2\pi+4\pi+6\pi+1+\tfrac{7\pi}{2} = \tfrac{31\pi}{2}+1.

Passo 7

Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\Bigl(\tfrac{31\pi}{2}+1\Bigr) =31\pi^2+2\pi.

Resposta

V = 31\pi^2 + 2\pi.

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