Obtenha o volume do sólido gerado ao girarmos em torno do eixo y a região limitada pela curva y=\cos (x) para \frac{\pi}{2} \leq x \leq 4 \pi e o eixo x.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região entre a curva
y=\cos(x),\quad \frac{\pi}{2}\le x\le4\pi
e o eixo x.
Para volumes por revolução em torno de y é conveniente usar o método das cascas cilíndricas, em que cada casca, a abscissa x fixa, tem raio x e altura igual à distância entre a curva e o eixo x, ou seja \lvert\cos(x)\rvert.
Passo 2
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume é
V = 2\pi \int_{\pi/2}^{4\pi} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dx =2\pi \int_{\pi/2}^{4\pi} x\,\lvert\cos(x)\rvert\,dx.
Passo 3
Precisamos eliminar o valor absoluto, dividindo o intervalo nos pontos em que \cos(x)=0. Esses zeros em [\tfrac{\pi}{2},4\pi] ocorrem em \tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{2},\;\tfrac{7\pi}{2}.
Em cada subintervalo \lvert\cos(x)\rvert é