Uma caixa de 68 k g é puxada pelo chão por uma corda que faz um ângulo de 30^{\circ} acima da horizontal.
(a) Se o coeficiente de atrito estático é \mu_{e}=0,5, qual será a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa?
(b) Se o coeficiente de atrito cinético é \mu_{e}=0.35, qual a sua aceleração inicial?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa;
(b) a aceleração inicial da caixa assim que ela começa a se mover (usando o coeficiente de atrito cinético).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
\;m=68\\ \mathrm{kg} (massa da caixa)
\;\theta=30^\circ (ângulo da corda acima da horizontal)
\;\mu_{e\,(estático)}=0,5á (coeficiente de atrito estático)
\;\mu_{e\,(cinético)}=0,35é (coeficiente de atrito cinético)
Vou assumir o valor padrão da gravidade: \;g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Identifiquemos as forças atuando na caixa (diagrama de corpo livre mental):
  • Peso para baixo: \;mg.
  • Tensão da corda ao longo da corda, com componentes \;T\cos\theta (horizontal, para a direita) e \;T\sin\theta (vertical, para cima).
  • Força normal vertical da superfície sobre a caixa: \;N (para cima).
  • Força de atrito (paralela à superfície), que impede o movimento: \;f.
Escolhemos eixos: eixo x horizontal (paralelo ao chão, positivo para a direita) e eixo y vertical (positivo para cima).

Passo 3

Equilíbrio vertical (somente forças verticais) enquanto a caixa ainda não se move verticalmente: a soma das forças verticais é zero, portanto a normal é igual ao peso menos a componente vertical da tensão. Escrevemos isso assim:
N = mg - T\sin\theta.
Explicação: o peso mg puxa para baixo; a componente vertical da tensão T\sin\theta “alivia” parte do peso, reduzindo N.

Passo 4

Atrito estático máximo: a força de atrito estático pode variar até um máximo dado por
f_{s,\max} = \mu_{e\,(estático)}\,N.á
Explicação: o atrito estático se ajusta para impedir o movimento até um valor máximo proporcional à normal. Quando a força de tração horizontal excede esse máximo, a caixa começa a deslizar.

Passo 5

Condição para iniciar o movimento (limiar): a componente horizontal da tração atinge exatamente o atrito estático máximo, portanto
T\cos\theta = \mu_{e\,(estático)}\bigl(mg - T\sin\theta\bigr).á
Agora vamos isolar T. Primeiro distribuímos o lado direito e agrupamos os termos que contêm T:
T\cos\theta = \mu_{e\,(estático)}\,mg - \mu_{e\,(estático)}\,T\sin\theta.áá
Colocando os termos com T no mesmo lado:
T\cos\theta + \mu_{e\,(estático)}\,T\sin\theta = \mu_{e\,(estático)}\,mg.áá
Fatorando T:
T\bigl(\cos\theta + \mu_{e\,(estático)}\sin\theta\bigr) = \mu_{e\,(estático)}\,mg.áá
Finalmente, isolamos T:
T = \frac{\mu_{e\,(estático)}\,mg}{\cos\theta + \mu_{e\,(estático)}\sin\theta}.áá

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Usei \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254 e \sin30^\circ=\dfrac{1}{2}=0,5.
Calculemos mg:
mg = 68\cdot 9,8 = 666,4\\ \mathrm{N}.
Numerador:
\mu_{e\,(estático)}\,mg = 0,5\cdot 666,4 = 333,2\\ \mathrm{N}.á
Denominador:
\cos30^\circ + \mu_{e\,(estático)}\sin30^\circ = 0,8660254 + 0,5\cdot 0,5 = 0,8660254 + 0,25 = 1,1160254.á
Logo a tensão mínima é
T = \frac{333,2}{1,1160254}\approx 298,6\\ \mathrm{N}.
Este é o valor da tensão necessário para vencer o atrito estático e iniciar o movimento.

Passo 7

Agora (b): quando a caixa já começa a se mover, o atrito que age é o cinético, dado por
f_k = \mu_{e\,(cinético)}\,N,é
onde ainda vale \;N = mg - T\sin\theta. Para achar a aceleração inicial usamos a segunda lei na direção horizontal:
m a = T\cos\theta - f_k = T\cos\theta - \mu_{e\,(cinético)}(mg - T\sin\theta).é
Isolando a:
a = \frac{T\cos\theta - \mu_{e\,(cinético)}(mg - T\sin\theta)}{m}.é
Aqui usamos T igual à tensão mínima que encontramos no item (a), pois estamos calculando a aceleração logo após iniciar o movimento com essa tração.

Passo 8

Substituímos números passo a passo (usando o valor T\approx 298,6\\ \mathrm{N}).
Primeiro a normal:
N = mg - T\sin\theta = 666,4 - 298,6\cdot 0,5 = 666,4 - 149,3 = 517,1\\ \mathrm{N}.
Força de atrito cinético:
f_k = \mu_{e\,(cinético)}\,N = 0,35\cdot 517,1 \approx 181,99\\ \mathrm{N}.é
Componente horizontal da tensão:
T\cos\theta = 298,6\cdot 0,8660254 \approx 258,56\\ \mathrm{N}.
Força resultante horizontal e aceleração:
F_{x,\text{res}} = T\cos\theta - f_k \approx 258,56 - 181,99 = 76,57\\ \mathrm{N},
a = \frac{F_{x,\text{res}}}{m} = \frac{76,57}{68} \approx 1,13\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) \;T_{\min}\approx 298,6\\ \mathrm{N}
(b) \;a\approx 1,13\\ \mathrm{m/s^2}

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