Uma caixa de
é puxada pelo chão por uma corda que faz um ângulo de
acima da horizontal.
(a) Se o coeficiente de atrito estático é
, qual será a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa?
(b) Se o coeficiente de atrito cinético é
, qual a sua aceleração inicial?
(a) Se o coeficiente de atrito estático é
(b) Se o coeficiente de atrito cinético é
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa;
(b) a aceleração inicial da caixa assim que ela começa a se mover (usando o coeficiente de atrito cinético).
(a) a tensão mínima necessária para iniciar o movimento da caixa;
(b) a aceleração inicial da caixa assim que ela começa a se mover (usando o coeficiente de atrito cinético).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
(massa da caixa)
(ângulo da corda acima da horizontal)
(coeficiente de atrito estático)
(coeficiente de atrito cinético)
Vou assumir o valor padrão da gravidade:
.
Passo 2
Identifiquemos as forças atuando na caixa (diagrama de corpo livre mental):
- Peso para baixo:
. - Tensão da corda ao longo da corda, com componentes
(horizontal, para a direita) e (vertical, para cima). - Força normal vertical da superfície sobre a caixa:
(para cima). - Força de atrito (paralela à superfície), que impede o movimento:
.
Escolhemos eixos: eixo
horizontal (paralelo ao chão, positivo para a direita) e eixo
vertical (positivo para cima).
Passo 3
Equilíbrio vertical (somente forças verticais) enquanto a caixa ainda não se move verticalmente: a soma das forças verticais é zero, portanto a normal é igual ao peso menos a componente vertical da tensão. Escrevemos isso assim:
Explicação: o peso
puxa para baixo; a componente vertical da tensão
“alivia” parte do peso, reduzindo
.
Passo 4
Atrito estático máximo: a força de atrito estático pode variar até um máximo dado por
Explicação: o atrito estático se ajusta para impedir o movimento até um valor máximo proporcional à normal. Quando a força de tração horizontal excede esse máximo, a caixa começa a deslizar.
Passo 5
Condição para iniciar o movimento (limiar): a componente horizontal da tração atinge exatamente o atrito estático máximo, portanto
Agora vamos isolar
. Primeiro distribuímos o lado direito e agrupamos os termos que contêm
:
Colocando os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Usei
e
.
Calculemos
:
Numerador:
Denominador:
Logo a tensão mínima é
Este é o valor da tensão necessário para vencer o atrito estático e iniciar o movimento.
Passo 7
Agora (b): quando a caixa já começa a se mover, o atrito que age é o cinético, dado por
onde ainda vale
. Para achar a aceleração inicial usamos a segunda lei na direção horizontal:
Isolando
:
Aqui usamos
igual à tensão mínima que encontramos no item (a), pois estamos calculando a aceleração logo após iniciar o movimento com essa tração.
Passo 8
Substituímos números passo a passo (usando o valor
).
Primeiro a normal:
Força de atrito cinético:
Componente horizontal da tensão:
Força resultante horizontal e aceleração:
Resposta
(a)
(b)
(b)