Calcule os valores de
para que os planos
e
sejam perpendiculares.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede os valores de
para que esses planos sejam perpendiculares. Informações dadas:
- Primeiro plano:
. - Segundo plano:
.
O que se pede: encontrar todos os valores detais que os planos acima sejam perpendiculares.
Passo 2
Lembrete importante (passo pedagógico): um plano na forma
tem como vetor normal ao plano o vetor formado pelos coeficientes de
, ou seja
. Esse vetor normal é perpendicular ao plano e indica sua orientação no espaço.
Aplicando isso aos planos dados:
Aplicando isso aos planos dados:
- O vetor normal do primeiro plano é
. - O vetor normal do segundo plano é
.
Passo 3
Condição de perpendicularidade (a teoria que vamos usar): dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Dois vetores
e
são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar deles for zero. O produto escalar é definido por
Portanto, para os normais
e
a condição será
.
Passo 4
Calcular o produto escalar dos normais substituindo as componentes:
Fazendo as multiplicações:
Impondo a condição de perpendicularidade:
Passo 5
Resolver a equação encontrada. Factorizando:
As soluções dessa equação são
e
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Se
, os normais são e . Produto escalar: . OK. - Se
, os normais são e . Produto escalar: . OK.