Calcule os valores de m para que os planos m x-2 y+z=0 e m x+y+z-1=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede os valores de m para que esses planos sejam perpendiculares. Informações dadas:
  • Primeiro plano: m x - 2 y + z = 0.
  • Segundo plano: m x + y + z - 1 = 0.
    O que se pede: encontrar todos os valores de m tais que os planos acima sejam perpendiculares.

Passo 2

Lembrete importante (passo pedagógico): um plano na forma a x + b y + c z + d = 0 tem como vetor normal ao plano o vetor formado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja (a,b,c). Esse vetor normal é perpendicular ao plano e indica sua orientação no espaço.
Aplicando isso aos planos dados:
  • O vetor normal do primeiro plano é n_1 = (m,\,-2,\,1).
  • O vetor normal do segundo plano é n_2 = (m,\,1,\,1).

Passo 3

Condição de perpendicularidade (a teoria que vamos usar): dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) são perpendiculares se, e somente se, o produto escalar deles for zero. O produto escalar é definido por
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Portanto, para os normais n_1 e n_2 a condição será n_1\cdot n_2 = 0.

Passo 4

Calcular o produto escalar dos normais substituindo as componentes:
n_1\cdot n_2 = (m)\cdot(m) + (-2)\cdot(1) + (1)\cdot(1).
Fazendo as multiplicações:
n_1\cdot n_2 = m^2 - 2 + 1 = m^2 - 1.
Impondo a condição de perpendicularidade:
m^2 - 1 = 0.

Passo 5

Resolver a equação encontrada. Factorizando:
m^2 - 1 = (m-1)(m+1) = 0.
As soluções dessa equação são m = 1 e m = -1.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Se m=1, os normais são n_1=(1,-2,1) e n_2=(1,1,1). Produto escalar: 1\cdot1 + (-2)\cdot1 + 1\cdot1 = 1-2+1=0. OK.
  • Se m=-1, os normais são n_1=(-1,-2,1) e n_2=(-1,1,1). Produto escalar: (-1)(-1)+(-2)(1)+1(1)=1-2+1=0. OK.

Resposta

m=1
m=-1

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