Obtenha os vetores untários vec{T}(t), vec{N}(t) e a curvatura \kappa para as seguintes curvas
\vec{r}(t)=\sqrt{2} t \hat{i}+e^{t} \hat{j}+e^{-t} \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\hat{i}+e^{t}\,\hat{j}+e^{-t}\,\hat{k}
e pede:
  • o vetor unitário tangente \vec{T}(t);
  • o vetor unitário normal principal \vec{N}(t);
  • a curvatura \kappa(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva está dada parametricamente por \vec{r}(t).
  • Para obter \vec{T}(t) é preciso derivar \vec{r}(t) e dividir pelo módulo da derivada.
  • Para obter \vec{N}(t) podemos calcular a parte de \vec{r}''(t) perpendicular a \vec{T}(t) e normalizar: \vec{N}(t)=\frac{\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)}{\big\|\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)\big\|}.
  • Uma fórmula prática para a curvatura é \kappa(t)=\frac{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{3}},ou, equivalentemente, usando a parte normal de \vec{r}'', \kappa(t)=\frac{\big\|\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)\big\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{2}}.

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras e segundas de \vec{r}(t).
Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}):
\vec{r}'(t)=\sqrt{2}\,\hat{i}+e^{t}\,\hat{j}-e^{-t}\,\hat{k},
\vec{r}''(t)=0\cdot\hat{i}+e^{t}\,\hat{j}+e^{-t}\,\hat{k}.

Passo 3

Calcular a velocidade (módulo de \vec{r}'(t)):
\|\vec{r}'(t)\|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(e^{t})^{2}+(-e^{-t})^{2}} =\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}.
Usando a identidade \operatorname{cosh}(2t)=\dfrac{e^{2t}+e^{-2t}}{2}, tem-se
2+e^{2t}+e^{-2t}=2+2\operatorname{cosh}(2t)=4\operatorname{cosh}^{2}t,
portanto
\|\vec{r}'(t)\|=2\operatorname{cosh} t,
já que \operatorname{cosh} t\ge 1 e o módulo é positivo.

Passo 4

Obter o vetor unitário tangente \vec{T}(t) dividindo \vec{r}'(t) por \|\vec{r}'(t)\|:
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|} =\frac{1}{2\operatorname{cosh} t}\big(\sqrt{2}\,\hat{i}+e^{t}\,\hat{j}-e^{-t}\,\hat{k}\big).
Explicação rápida: \vec{T} aponta na direção da velocidade com comprimento 1; aqui normalizamos dividindo por 2\operatorname{cosh} t.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar \vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t) (é a componente de \vec{r}'' na direção tangente):
\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t) =\big(0,e^{t},e^{-t}\big)\cdot\frac{1}{2\operatorname{cosh} t}\big(\sqrt{2},e^{t},-e^{-t}\big).
Fazendo o produto escalar:
\vec{r}''\cdot\vec{T}=\frac{1}{2\operatorname{cosh} t}\big(0\cdot\sqrt{2}+e^{t}\cdot e^{t}+e^{-t}\cdot(-e^{-t})\big) =\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2\operatorname{cosh} t}.
Usando e^{2t}-e^{-2t}=2\operatorname{sinh}(2t) e \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, obtemos
\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t)=\frac{2\operatorname{sinh}(2t)}{2\operatorname{cosh} t}=\frac{2\cdot 2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t}{2\operatorname{cosh} t}=2\operatorname{sinh} t.

Passo 6

Calcular a parte de \vec{r}'' perpendicular a \vec{T}:
\vec{W}(t)=\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t).
Já temos \vec{r}''(t)=\big(0,e^{t},e^{-t}\big) e \vec{r}''\cdot\vec{T}=2\operatorname{sinh} t, então
(\vec{r}''\cdot\vec{T})\vec{T}=2\operatorname{sinh} t\cdot\frac{1}{2\operatorname{cosh} t}\big(\sqrt{2},e^{t},-e^{-t}\big) =\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}\big(\sqrt{2},e^{t},-e^{-t}\big).
Subtraindo componente a componente:
\vec{W}(t)=\Big(0-\sqrt{2}\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t},\; e^{t}-e^{t}\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t},\; e^{-t}+e^{-t}\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}\Big).
Simplificando usando \dfrac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=\operatorname{tanh} t e \operatorname{cosh} t\pm\operatorname{sinh} t=e^{\pm t}, obtemos
\vec{W}(t)=\big(-\sqrt{2}\operatorname{tanh} t,\; \tfrac{1}{\operatorname{cosh} t},\; \tfrac{1}{\operatorname{cosh} t}\big).
Observação: nos componentes em y e z usamos e^{t}\big(1-\tfrac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}\big)=e^{t}\tfrac{\operatorname{cosh} t-\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=e^{t}\tfrac{e^{-t}}{\operatorname{cosh} t}=\tfrac{1}{\operatorname{cosh} t}, e análogo para o componente z.

Passo 7

Calcular o módulo de \vec{W}(t):
\|\vec{W}(t)\|^{2}=2\operatorname{tanh}^{2}t+\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t}+\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}t} =2\big(\operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t\big).
Usando a identidade \operatorname{sech}^{2}t=1-\operatorname{tanh}^{2}t, tem-se \operatorname{tanh}^{2}t+\operatorname{sech}^{2}t=1. Logo
\|\vec{W}(t)\|^{2}=2\quad\Rightarrow\quad \|\vec{W}(t)\|=\sqrt{2}.

Passo 8

Construir o vetor normal unitário \vec{N}(t) normalizando \vec{W}(t):
\vec{N}(t)=\frac{\vec{W}(t)}{\|\vec{W}(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(-\sqrt{2}\operatorname{tanh} t,\; \tfrac{1}{\operatorname{cosh} t},\; \tfrac{1}{\operatorname{cosh} t}\big).
Cancelando o fator 1/\sqrt{2} no primeiro componente, obtemos a forma final simples:
\vec{N}(t)=\big(-\operatorname{tanh} t,\; \tfrac{1}{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t},\; \tfrac{1}{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}\big).
Interpretação rápida: \vec{N} tem norma 1 e aponta para a direção em que a curva está “virando”.

Passo 9

Calcular a curvatura \kappa(t). Usando a relação (vista no Passo 1)
\kappa(t)=\frac{\|\vec{W}(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{2}},
já temos \|\vec{W}(t)\|=\sqrt{2} e \|\vec{r}'(t)\|=2\operatorname{cosh} t, então
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(2\operatorname{cosh} t)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\operatorname{cosh}^{2}t}.
(Obs.: obtém-se o mesmo resultado se usar \kappa=\dfrac{\|\vec{r}'\times\vec{r}''\|}{\|\vec{r}'\|^{3}}.)

Resposta

\displaystyle \vec{T}(t)=\frac{1}{2\operatorname{cosh} t}\big(\sqrt{2}\,\hat{i}+e^{t}\,\hat{j}-e^{-t}\,\hat{k}\big)
\displaystyle \vec{N}(t)=\big(-\operatorname{tanh} t,\;\tfrac{1}{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t},\;\tfrac{1}{\sqrt{2}\operatorname{cosh} t}\big)
\displaystyle \kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{4\operatorname{cosh}^{2}t}

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