Obtenha os vetores untários vec{T}(t), vec{N}(t) e a curvatura \kappa para as seguintes curvas \vec{r}(t)=\sqrt{2} t \hat{i}+e^{t} \hat{j}+e^{-t} \hat{k}
A curva está dada parametricamente por \vec{r}(t).
Para obter \vec{T}(t) é preciso derivar \vec{r}(t) e dividir pelo módulo da derivada.
Para obter \vec{N}(t) podemos calcular a parte de \vec{r}''(t) perpendicular a \vec{T}(t) e normalizar:\vec{N}(t)=\frac{\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)}{\big\|\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)\big\|}.
Uma fórmula prática para a curvatura é\kappa(t)=\frac{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{3}},ou, equivalentemente, usando a parte normal de \vec{r}'',\kappa(t)=\frac{\big\|\vec{r}''(t)-(\vec{r}''(t)\cdot\vec{T}(t))\vec{T}(t)\big\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{2}}.
Passo 2
Calcular as derivadas primeiras e segundas de \vec{r}(t).
Derivando termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}):
Observação: nos componentes em y e z usamos e^{t}\big(1-\tfrac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}\big)=e^{t}\tfrac{\operatorname{cosh} t-\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=e^{t}\tfrac{e^{-t}}{\operatorname{cosh} t}=\tfrac{1}{\operatorname{cosh} t}, e análogo para o componente z.