Obtenha o volume do sólido delimitado pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=4-3 x^2-3 y^2. Resp.: 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede achar o volume do sólido entre os paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 4 - 3x^2 - 3y^2. Vamos usar cálculo de volume via integral dupla, identificando a região de projeção no plano xy e passando para coordenadas polares.

Passo 2

Para determinar a projeção, igualamos as superfícies:
x^2 + y^2 = 4 - 3(x^2 + y^2)
Isso dá 4(x^2 + y^2) = 4, ou seja x^2 + y^2 = 1. Em coordenadas polares, a região D é o disco 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi.

Passo 3

O volume é dado por integral duplaD [ztopo - zfundo] ,dA. Aqui ztopo = 4 - 3r^2 e zfundo = r^2, logo:
V = integral duplaD l[(4 - 3r^2) - r^2r] ,dA = integral duplaD (4 - 4r^2) ,dA

Passo 4

Em coordenadas polares temos dA = r,dr,dtheta. Assim a integral vira:
V = integral0^2pi integral0^1 (4 - 4r^2),r,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em r:
integral0^1 (4r - 4r^3),dr = [2r^2 - r^4]0^1 = 1
Sobrou apenas integral0^2pi 1,dtheta.

Resposta

2\pi

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