Obtenha o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
ao longo da reta
.
17. Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-
17. Utilizando a técnica de cascas cilíndricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar, em torno da reta
, a região limitada pelas curvas
e
O método escolhido é o das cascas cilíndricas, que usa tiras verticais paralelas ao eixo de rotação (a reta
).
Passo 2
Precisamos achar os limites em
onde as curvas se intersectam. Igualando
vem
Logo, a região está compreendida entre
e
, mas vamos reescrever em função de
para usar tiras verticais.
Passo 3
Para cascas cilíndricas tomamos uma tira vertical em
. Em cada
, a altura da tira é a diferença entre a cota superior e inferior em
, ou seja,
de modo que a altura vale
A casca produzida por essa tira tem raio igual à distância horizontal até a reta
:
Passo 4
A fórmula do volume pelo método das cascas cilíndricas é
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando a integral:
Logo,