Use integração por partes, juntamente com frações parciais para resolver a integral
.
Passo 1
A questão pede calcular a integral
usando técnicas de integração. Vamos recorrer à integração por partes, depois manipular a integral resultante com divisão de polinômios, decomposição em frações parciais e completar quadrado para uma integral do tipo
.
Passo 2
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que estabelece:
Escolhemos
e
. Assim,
Passo 3
Substituindo na fórmula, obtemos:
Chamemos
para simplificar.
Passo 4
Para resolver
, fazemos divisão de polinômios no numerador:
Então
Passo 5
No termo
escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador e uma constante:
Logo
Passo 6
Agora integramos cada parte:
-
-
- $\displaystyle -\frac72\int \frac{dx}{x^2 - x +2}. $
Passo 7
Para
, completamos o quadrado:
E usamos a fórmula
Isso dá
Passo 8
Reunindo tudo em
e voltando à integração por partes, temos
Simplificando os logaritmos e
, obtemos o resultado final.
Passo 9
A forma simplificada da integral é dada por agrupar
e o termo de
com o coeficiente
.