Use integração por partes, juntamente com frações parciais para resolver a integral integral ln (x^2-x+2) d x.

Passo 1

A questão pede calcular a integral integral lnl(x^2 - x + 2r),dx usando técnicas de integração. Vamos recorrer à integração por partes, depois manipular a integral resultante com divisão de polinômios, decomposição em frações parciais e completar quadrado para uma integral do tipo integral!dx/(ax^2+bx+c).

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que estabelece:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos u = lnl(x^2 - x +2r) e dv = dx. Assim,
du = 2x - 1x^2 - x +2,dx, v = x

Passo 3

Substituindo na fórmula, obtemos:
integral lnl(x^2 - x +2r),dx = x lnl(x^2 - x +2r) - integral x 2x -1x^2 - x +2,dx
Chamemos I2 = integral x 2x -1x^2 - x +2,dx para simplificar.

Passo 4

Para resolver I2, fazemos divisão de polinômios no numerador:
2x^2 - x = 2l(x^2 - x +2r) + (x -4)
Então
I2 = integral l[2 + x -4x^2 - x +2r]dx = integral 2,dx + integral x -4x^2 - x +2,dx

Passo 5

No termo integral (x -4)/(x^2 - x +2),dx escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador e uma constante:
x -4 = 12(2x -1) - 72
Logo
x -4x^2 - x +2 = 122x -1x^2 - x +2 - 721x^2 - x +2

Passo 6

Agora integramos cada parte:
  • integral 2,dx = 2x
  • 12integral 2x -1x^2 - x +2,dx = 12lnl(x^2 - x +2r)
  • $\displaystyle -\frac72\int \frac{dx}{x^2 - x +2}. $

Passo 7

Para integral dx/(x^2 - x +2), completamos o quadrado:
x^2 - x +2 = l(x-tfrac12r)^2 + tfrac74
E usamos a fórmula
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan ua
Isso dá
integral dxx^2 - x +2 = 2raiz7 arctan!l(2x-1raiz7r)

Passo 8

Reunindo tudo em I2 e voltando à integração por partes, temos
integral lnl(x^2 - x +2r),dx = xlnl(x^2 - x +2r) - l[2x + tfrac12lnl(x^2 - x +2r) - tfrac72cdottfrac2raiz7arctan!l(tfrac2x-1raiz7r)r] + C
Simplificando os logaritmos e 7/2cdot2/raiz7 = raiz7, obtemos o resultado final.

Passo 9

A forma simplificada da integral é dada por agrupar xln e o termo de arctan com o coeficiente raiz7.

Resposta

(x - tfrac12)lnl(x^2 - x +2r) - 2x + raiz7,arctan!l(tfrac2x-1raiz7r) + C.

Exercícios relacionados