Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais.
integral x^2+2 x+1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular integral x^2+2x+1x^3-x,dx usando frações parciais. O conteúdo aqui é integração de funções racionais via decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador para iniciar a quebra em partes.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador x^3-x.
x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais. Como os fatores x, x-1 e x+1 são lineares e distintos, podemos escrever
x^2+2x+1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1)(x+1) e obtemos
x^2+2x+1 = A(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)

Passo 5

Para achar A,B,C usamos substituição de valores simples:
  • Em x=0: 1 = A(-1)(1) implica A=-1.
  • Em x=1: 1+2+1=4 = Bcdot1cdot2 implica B=2.
  • Em x=-1: 1-2+1=0 = Ccdot(-1)cdot(-2) implica C=0.

Passo 6

Logo
x^2+2x+1x^3-x = -1x + 2x-1

Passo 7

Agora integramos cada parcela:
integralx^2+2x+1x^3-x,dx = integrall(-1x + 2x-1r)dx = -integral1xdx + 2integral1x-1dx

Passo 8

Sabendo que integral1udu = ln|u| + C, temos
-ln|x| + 2ln|x-1| + C

Resposta

-\ln|x| + 2\ln|x-1| + C

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