(a) f(x)=cccx^2-9x-3 & se & x neq 3 a & se & x=3
(b) f(x)=cccx^2-1 & se & x<3 2 a x & se & x >= 3
© f(x)=clla^2 x-2 a & se & x >= 2 12 & se & x<2
(d) f(x)=cccx^3-1x^2-1 & se & x neq 1 a & se & x=1
(e) f(x)=ccc-2 & se & x <=-1 a x-b & se & -1= 1

Passo 1

Vamos trabalhar com cinco funções definidas por partes, cada uma dependendo de parâmetros (a e, em um caso, também b). O objetivo é achar o(s) valor(es) de parâmetro que garantem continuidade nos pontos de transição. Para isso, precisamos usar o conceito de limite e continuidade em função definida por partes.

Passo 2

Lembrando o critério de continuidade: uma função f é contínua em x₀ se e somente se
limxto x₀^-f(x)=f(x₀)=limxto x₀^+f(x) Nos pontos de quebra de cada definição, vamos igualar os limites laterais ao valor de f.

Passo 3

Para a função (a), o ponto crítico é x=3. Calculamos
x^2-9x-3=(x-3)(x+3)x-3=x+3,
para x≠3. Logo
limxto3x^2-9x-3=3+3=6
Para ser contínua em x=3, deve valer a=6.

Passo 4

Na parte (b) o ponto de atenção é x=3. De um lado, x<3, f(x)=x^2-1 e
limxto3^-(x^2-1)=9-1=8
Do outro lado, x≥3, f(3)=2a·3=6a. Igualando 8=6a, obtemos a=4/3.

Passo 5

Na parte © o ponto de transição é x=2. Para x<2, f(x)=12, logo
limxto2^-f(x)=12
Para x≥2, f(2)=a2·2-2a=2a2-2a. Igualando 12=2a^2-2a resulta
a^2-a-6=0Longrightarrow(a-3)(a+2)=0
portanto a=3 ou a=−2.

Passo 6

Na parte (d) o ponto crítico é x=1. Para x≠1,
x^3-1x^2-1=(x-1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1)=x^2+x+1x+1
Tomando o limite em x→1:
1^2+1+11+1=32
Para ser contínua em x=1, a deve valer 3/2.

Passo 7

Na parte (e) há dois pontos de quebra, x=−1 e x=1. Para x=−1:
f(-1^-)=−2,
f(-1^+)=a·(-1)-b=-a-b
Igualando −2=−a−b dá a+b=2. Em x=1:
f(1^-)=a·1-b=a-b,
f(1^+)=3
Igualando a−b=3. Resolvendo o sistema
a+b=2a-b=3
obtém-se a=5/2 e b=−1/2.

Resposta

(a) a=6; (b) a=4/3; © a=3 ou a=−2; (d) a=3/2; (e) a=5/2 e b=−1/2

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