Obter a equação diferencial linear com coeficientes constantes para representar a relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dado pela função de transferência G(s):
G(s)=Y(s)X(s)=s+2(s+3)((s-2)^2+9)
Este sistema dinâmico é estável? Explique. Determinar o valor do lim t infty y(t) (se existir) para a entrada degrau unitário.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes que conecte a entrada x(t) com a saída y(t) de um sistema que é linear e invariante no tempo. A função de transferência desse sistema é dada por:
G(s) = Y(s)X(s) = s+2(s+3)((s-2)^2+9)
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e entender como converter uma função de transferência em uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência G(s) relaciona a transformada de Laplace da saída Y(s) com a da entrada X(s) . Para encontrar a equação diferencial, precisamos reescrever G(s) de forma que possamos expressar Y(s) em termos de X(s) e depois aplicar a transformada inversa.
Multiplicando ambos os lados por X(s) :
Y(s) = G(s) cdot X(s) = s+2(s+3)((s-2)^2+9) cdot X(s)

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa expressão para obter uma equação polinomial em s . Primeiro, vamos multiplicar os denominadores:
(s+3)((s-2)^2+9) = (s+3)(s^2 - 4s + 4 + 9) = (s+3)(s^2 - 4s + 13)
Então, temos:
Y(s)(s+3)(s^2 - 4s + 13) = (s+2)X(s)
Explicando, cada fator de s aqui vai se traduzir em derivadas no tempo. Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
(s+3)(s^2 - 4s + 13) Y(s) = (s+2) X(s)

Passo 4

Agora, traduzimos isso para o tempo real usando as propriedades das transformadas de Laplace. Sabemos que multiplicação por s corresponde a derivadas no tempo. Então:
(ddt + 3)(d^2dt^2 - 4ddt + 13) y(t) = (ddt + 2) x(t)
Distribuindo os termos, chegamos à equação diferencial linear com coeficientes constantes que relaciona x(t) e y(t) .

Passo 5

Para verificar a estabilidade do sistema, precisamos olhar os pólos da função de transferência G(s) . Os pólos são os valores de s que fazem o denominador de G(s) igual a zero:
(s+3)((s-2)^2+9) = 0
Resolvendo:
  1. s + 3 = 0 Rightarrow s = -3
  2. (s-2)^2 + 9 = 0 Rightarrow (s-2)^2 = -9 Rightarrow s - 2 = pm 3i Rightarrow s = 2 pm 3i
Analisando os pólos:
  • s = -3 tem parte real negativa.
  • s = 2 pm 3i têm parte real positiva.
Como há pólos com parte real positiva, o sistema é instável, porque esses pólos indicam que certas respostas irão crescer exponencialmente no tempo.

Passo 6

Para determinar lim t infty y(t) com uma entrada de degrau unitário, usamos o Teorema do Valor Final. Esse teorema diz que:
limt to infty y(t) = lims to 0 s Y(s)
Primeiro, para uma entrada de degrau unitário, X(s) = 1s . Então:
Y(s) = G(s) X(s) = s+2(s+3)((s-2)^2+9) cdot 1s = s+2s(s+3)((s-2)^2+9)
Aplicando o Teorema do Valor Final:
limt to infty y(t) = lims to 0 s cdot s+2s(s+3)((s-2)^2+9) = lims to 0 s+2(s+3)((s-2)^2+9)
Substituindo s = 0 :
0+2(0+3)((0-2)^2+9) = 23 cdot (4 + 9) = 23 cdot 13 = 239

Resposta

A equação diferencial linear com coeficientes constantes é:
(ddt + 3)(d^2dt^2 - 4ddt + 13) y(t) = (ddt + 2) x(t)
O sistema é instável porque possui pólos com parte real positiva. Além disso, para uma entrada de degrau unitário, o limite de y(t) quando t tende ao infinito é:
lim t infty y(t) = 239

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