Obter a equação diferencial linear com coeficientes constantes para representar a relação entre a entrada
e a saída
de um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é dado pela função de transferência
Este sistema dinâmico é estável? Explique. Determinar o valor do
(se existir) para a entrada degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! A gente precisa encontrar uma equação diferencial linear com coeficientes constantes que conecte a entrada
com a saída
de um sistema que é linear e invariante no tempo. A função de transferência desse sistema é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e entender como converter uma função de transferência em uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de transferência
relaciona a transformada de Laplace da saída
com a da entrada
. Para encontrar a equação diferencial, precisamos reescrever
de forma que possamos expressar
em termos de
e depois aplicar a transformada inversa.
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa expressão para obter uma equação polinomial em
. Primeiro, vamos multiplicar os denominadores:
Então, temos:
Explicando, cada fator de
aqui vai se traduzir em derivadas no tempo. Para voltar ao domínio do tempo, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Passo 4
Agora, traduzimos isso para o tempo real usando as propriedades das transformadas de Laplace. Sabemos que multiplicação por
corresponde a derivadas no tempo. Então:
Distribuindo os termos, chegamos à equação diferencial linear com coeficientes constantes que relaciona
e
.
Passo 5
Para verificar a estabilidade do sistema, precisamos olhar os pólos da função de transferência
. Os pólos são os valores de
que fazem o denominador de
igual a zero:
Resolvendo:
Analisando os pólos:
-
tem parte real negativa. -
têm parte real positiva.
Como há pólos com parte real positiva, o sistema é instável, porque esses pólos indicam que certas respostas irão crescer exponencialmente no tempo.
Passo 6
Para determinar
com uma entrada de degrau unitário, usamos o Teorema do Valor Final. Esse teorema diz que:
Primeiro, para uma entrada de degrau unitário,
. Então:
Aplicando o Teorema do Valor Final:
Substituindo
:
Resposta
A equação diferencial linear com coeficientes constantes é:
O sistema é instável porque possui pólos com parte real positiva. Além disso, para uma entrada de degrau unitário, o limite de
quando
tende ao infinito é: