Resolver, via transformada de Laplace, a seguinte equação diferencial linear com coeficientes constantes representando a relação entre a entrada
e a saída
de um sistema linear e invariante no tempo.
Este sistema dinâmico é estável? Explicar. Considerar
um degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação descreve como a entrada
e a saída
de um sistema linear e invariante no tempo estão relacionadas. Para isso, precisamos usar conhecimentos de equações diferenciais e transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de derivadas envolve as condições iniciais. Então, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas:
Substituindo esses na equação:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Juntando os termos com
:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Então,
Passo 7
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
Resolvendo para A e B, encontramos:
Para o segundo termo:
Resolvendo para C, D e E, encontramos:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
Passo 9
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos analisar a estabilidade do sistema. Um sistema é estável se todas as componentes exponenciais da solução tendem a zero quando
vai para o infinito. Observamos que os expoentes são negativos (-4 e -5), o que significa que
e
tendem a zero. Além disso, a constante
representa o estado estacionário.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O sistema dinâmico é estável, pois todas as componentes exponenciais tendem a zero conforme
aumenta, e a saída
alcança um valor constante.