Resolver, via transformada de Laplace, a seguinte equação diferencial linear com coeficientes constantes representando a relação entre a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear e invariante no tempo.
d^2d t^2 y(t)+9 dd t y(t)+20 y(t)=2 u(t), y(0)=1, doty(0)=-2
Este sistema dinâmico é estável? Explicar. Considerar u(t) um degrau unitário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma equação diferencial usando a transformada de Laplace. A equação descreve como a entrada x(t) e a saída y(t) de um sistema linear e invariante no tempo estão relacionadas. Para isso, precisamos usar conhecimentos de equações diferenciais e transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de derivadas envolve as condições iniciais. Então, temos:
Ld^2y(t)dt^2 + 9Ldy(t)dt + 20Ly(t) = 2Lu(t)

Passo 3

Agora, aplicamos as propriedades da transformada de Laplace para as derivadas:
Ld^2y(t)dt^2 = s^2Y(s) - s y(0) - doty(0)
Ldy(t)dt = s Y(s) - y(0)
Lu(t) = 1s
Substituindo esses na equação:
(s^2Y(s) - s cdot 1 - (-2)) + 9(s Y(s) - 1) + 20 Y(s) = 2s

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
s^2Y(s) - s + 2 + 9s Y(s) - 9 + 20 Y(s) = 2s
Juntando os termos com Y(s) :
Y(s)(s^2 + 9s + 20) = s + 7 + 2s

Passo 5

Isolando Y(s) :
Y(s) = s + 7s^2 + 9s + 20 + 2s(s^2 + 9s + 20)

Passo 6

Vamos fatorar o denominador s^2 + 9s + 20 :
s^2 + 9s + 20 = (s + 4)(s + 5)
Então,
Y(s) = s + 7(s + 4)(s + 5) + 2s(s + 4)(s + 5)

Passo 7

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
s + 7(s + 4)(s + 5) = As + 4 + Bs + 5
Resolvendo para A e B, encontramos:
A = 2 e B = 5
Para o segundo termo:
2s(s + 4)(s + 5) = Cs + Ds + 4 + Es + 5
Resolvendo para C, D e E, encontramos:
C = 220 = 110, D = -110, E = -110

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
Y(s) = 2s + 4 + 5s + 5 + 1/10s - 1/10s + 4 - 1/10s + 5

Passo 9

Aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo:
y(t) = 2 e^-4t + 5 e^-5t + 110 cdot 1 - 110 e^-4t - 110 e^-5t
Simplificando:
y(t) = 110 + (2 - 110)e^-4t + (5 - 110)e^-5t
y(t) = 110 + 1910e^-4t + 4910e^-5t

Passo 10

Agora, vamos analisar a estabilidade do sistema. Um sistema é estável se todas as componentes exponenciais da solução tendem a zero quando t vai para o infinito. Observamos que os expoentes são negativos (-4 e -5), o que significa que e^-4t e e^-5t tendem a zero. Além disso, a constante 110 representa o estado estacionário.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 110 + 1910e^-4t + 4910e^-5t
O sistema dinâmico é estável, pois todas as componentes exponenciais tendem a zero conforme t aumenta, e a saída y(t) alcança um valor constante.

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