Obter a equação para a taxa de calor em uma parede plana na qual a condutividade térmica ( k ) varia com a temperatura de acordo com a seguinte função : k=a+b T

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “A gente tem uma parede plana, condutividade térmica varia com a temperatura segundo
k(T)=a+b,T
e quer descobrir a taxa de calor que atravessa essa parede.”
Conteúdo: condução de calor unidimensional em regime estacionário (sem geração interna).
O que vamos usar:
  1. Lei de Fourier (fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura).
  2. Separação de variáveis e integração, já que não é constante, mas depende de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a Lei de Fourier em 1D, regime estacionário e sem geração interna:
qx ;=;-,k(T),dTdx
Aqui é o fluxo de calor (por área), que em regime estacionário é constante ao longo da parede.

Passo 3

Como qx ;=; -l(a+b,Tr),dTdx varia com , substituímos em Fourier:

Passo 4

Vamos separar variáveis para poder integrar. Isolamos -;qx;dx ;=;l(a+b,Tr),dT e integralx=0^x=L !(-qx),dx ;=;integralT1^T2!(a+b,T),dT :
Em regime estacionário, é constante. Integramos dos extremos da parede:

Passo 5

  1. Lado esquerdo:
integral0^L(-qx),dx = -,qx,L
  1. Lado direito:
integralT1^T2(a+b,T),dT = a,(T2-T1);+;b,T2^2 - T1^22
Juntando ambos:
-,qx,L ;=; a,(T2-T1);+;b2,(T2^2 - T1^2)
Multiplicamos por –1 e isolamos qx ;=;a,(T1-T2);+;tfracb2,l(T1^2 - T2^2r)L :

Resposta

Se a parede tem área boxed dot Q ;=; A,qx ;=; AL,l[a,(T1-T2);+;tfracb2,(T1^2 - T2^2)r] , a taxa total de calor é

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