Partindo da Equação Geral da Condução em coordenadas esféricas, obtenha a equação do perfil de temperaturas, considerando que a condução ocorra em regime permanente, unidirecional (apenas na direção radial) e sem geração de energia interna, ao longo de uma casca esférica, sabendo que (i) a temperatura da superficie interna da casca (ou seja, em r-ri ), a temperatura é uniforme e igual a Ti , enquanto que (ii) na superfície externa da casca ( r=re ) a temperatura se mantém a Te .

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar como a temperatura varia numa casca esférica quando só rola condução no sentido radial, tudo em regime permanente (sem mudar com o tempo) e sem gerar calor por dentro. É conteúdo de transmissão de calor, mais precisamente a equação da condução em coordenadas esféricas. A gente vai precisar da equação geral, aplicar que é permanente e sem geração, e usar os contornos: em r=ri, T=Ti; em r=re, T=Te.

Passo 2

Começando pela teoria: a equação da condução em regime permanente, para uma condutividade térmica k constante, em coordenadas esféricas e só na direção radial fica
1r^2ddrl(k,r^2dTdrr);=;0
Como k é constante, dá pra tirar fora do diferencial:
ddrl(r^2dTdrr);=;0
Isso significa que r^2,dTdr é constante.

Passo 3

Integramos uma vez:
r^2,dTdr = C1 ;;Longrightarrow;; dTdr = C1r^2
Agora integramos de novo para achar T(r):
T(r) = integral C1r^2,dr + C2 = -,C1r + C2,
onde C1 e C2 são constantes de integração a determinar.

Passo 4

Usamos as condições de contorno:
  1. Em r=ri, T=Ti
Ti = -C1ri + C2
  1. Em r=re, T=Te
Te = -C1re + C2
Subtraindo uma da outra:
Ti-Te = C1l(-tfrac1ri + tfrac1rer) = C1l(tfrac1re-tfrac1rir)
Longrightarrow C1=Ti-Te1re-1ri =Ti-Teri-rerire =;(Ti-Te);rireri-re
E pra achar C2, basta usar, por exemplo, Te=-C1/re+C2:
C2=Te+C1re

Resposta

A curva de temperatura no interior da casca esférica é
boxed T(r) = Te;+; Ti-Te1ri-1re l(1r-1rer) , ri<= r<= re

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