Partindo da Equação Geral da Condução em coordenadas esféricas, obtenha a equação do perfil de temperaturas, considerando que a condução ocorra em regime permanente, unidirecional (apenas na direção radial) e sem geração de energia interna, ao longo de uma casca esférica, sabendo que (i) a temperatura da superficie interna da casca (ou seja, em
), a temperatura é uniforme e igual a Ti , enquanto que (ii) na superfície externa da casca (
) a temperatura se mantém a Te .
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é achar como a temperatura varia numa casca esférica quando só rola condução no sentido radial, tudo em regime permanente (sem mudar com o tempo) e sem gerar calor por dentro. É conteúdo de transmissão de calor, mais precisamente a equação da condução em coordenadas esféricas. A gente vai precisar da equação geral, aplicar que é permanente e sem geração, e usar os contornos: em
,
; em
,
.
Passo 2
Começando pela teoria: a equação da condução em regime permanente, para uma condutividade térmica
constante, em coordenadas esféricas e só na direção radial fica
Como
é constante, dá pra tirar fora do diferencial:
Isso significa que
é constante.
Passo 3
Integramos uma vez:
Agora integramos de novo para achar
:
onde
e
são constantes de integração a determinar.
Passo 4
Usamos as condições de contorno:
- Em
,
- Em
,
Subtraindo uma da outra:
E pra achar
, basta usar, por exemplo,
:
Resposta
A curva de temperatura no interior da casca esférica é