Verifique se os campos de velocidade dados abaixo são irrotacionais e solenoidais. Se o campo de velocidade for irrotacional, determine a função potencial de velocidade. Se o campo de velocidade for solenoidal, determine a função de fluxo.
nabla=(a x+i) i-b y^2 j

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício pede:
Temos um campo de velocidade
v(x,y) = (a,x + i),i ;-; b,y^2,j
e queremos:
  1. Verificar se ele é irrotacional (ou seja, se o rotacional é zero).
  2. Verificar se ele é solenoidal (ou seja, se a divergência é zero).
  3. Se for irrotacional, achar a função potencial .
  4. Se for solenoidal, achar a função de fluxo .
Conteúdo usado:
  • Definição de rotacional e divergência em 2D.
  • Integração para achar potencial/fluxo.

Passo 2

Primeiro, cálculo do rotacional em 2D (ou “vorticidade” escalar):
omegaz = l(nabla times vr)cdotk = partial vypartial x ;-;partial vxpartial y
Aqui partial vypartial x = partial(-b,y^2)partial x = 0, partial vxpartial y = partial(a,x + i)partial y = 0 e omegaz = 0 - 0 = 0 . Então
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Conclusão: o campo é irrotacional.

Passo 3

Agora vamos ver se ele é solenoidal. Em 2D,
nablacdotv = partial vxpartial x + partial vypartial y
Calculando:
partial vxpartial x = partial(a,x + i)partial x = a, partial vypartial y = partial(-b,y^2)partial y = -2,b,y
Então
nablacdotv = a ;+; (-2,b,y) = a - 2,b,y
Esse resultado só é zero em geral se e , o que não é o caso geral do enunciado.
Conclusão: o campo não é solenoidal.

Passo 4

Como o campo é irrotacional, podemos achar uma função potencial nablaphi = v, tal que
partialphipartial x = vx = a,x + i, partialphipartial y = vy = -,b,y^2
isto é,
phi(x,y) = integral (a,x + i),dx = a2,x^2 + i,x + g(y),
  1. Integramos a primeira equação em partialphipartial y = g'(y) stackrel!=-,b,y^2 :
g(y) = integral -b,y^2,dy = -,b3,y^3 + C,
onde phi(x,y) = a2,x^2 + i,x ;-;b3,y^3 ;+; C é uma “constante” de integração que pode depender de .
  1. Agora usamos a outra condição:
Integramos em :
onde é constante absoluta.
Portanto,

Resposta

O campo é irrotacional e não é solenoidal.
A função potencial é
boxed phi(x,y) = a2,x^2 ;+; i,x ;-;b3,y^3 ;+; C

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