Verifique se os campos de velocidade dados abaixo são irrotacionais e solenoidais. Se o campo de velocidade for irrotacional, determine a função potencial de velocidade. Se o campo de velocidade for solenoidal, determine a função de fluxo.
Passo 1
Beleza, olha só o que o exercício pede:
Temos um campo de velocidade
Temos um campo de velocidade
e queremos:
- Verificar se ele é irrotacional (ou seja, se o rotacional é zero).
- Verificar se ele é solenoidal (ou seja, se a divergência é zero).
- Se for irrotacional, achar a função potencial
. - Se for solenoidal, achar a função de fluxo
.
Conteúdo usado:
- Definição de rotacional e divergência em 2D.
- Integração para achar potencial/fluxo.
Passo 2
Primeiro, cálculo do rotacional em 2D (ou “vorticidade” escalar):
Aqui
e
. Então
Logo
Conclusão: o campo é irrotacional.
Passo 3
Agora vamos ver se ele é solenoidal. Em 2D,
Calculando:
Então
Esse resultado só é zero em geral se
e
, o que não é o caso geral do enunciado.
Conclusão: o campo não é solenoidal.
Conclusão: o campo não é solenoidal.
Passo 4
Como o campo é irrotacional, podemos achar uma função potencial
tal que
isto é,
- Integramos a primeira equação em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora usamos a outra condição:
Integramos em
:
onde
é constante absoluta.
Portanto,
Resposta
O campo é irrotacional e não é solenoidal.
A função potencial é
A função potencial é