Obter a série de Fourier das seguintes funções:
, com
;
-periódica.
Passo 1
A questão pede a série de Fourier para a função
definida em
e estendida periodicamente com período
. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Fourier usando os coeficientes
,
e
. Vamos precisar da definição da série de Fourier e explorar a simetria da função para simplificar o cálculo.
Passo 2
Uma função
-periódica tem a série de Fourier geral:
com
Passo 3
Observamos que
é função ímpar pois
. Em uma série de Fourier, isso implica
e todos os
, restando apenas os termos com seno.
Passo 4
Como o produto de duas funções ímpares é par, para calcular
usamos:
Passo 5
Para resolver
, aplicamos integração por partes escolhendo
e
com
. Então
e
.
A integral por partes leva a
A integral por partes leva a
Passo 6
Substituindo no coeficiente
resulta
Passo 7
Finalmente, a série de Fourier de
é