Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=-x, com x in[-L, L]; f 2 L-periódica.

Passo 1

A questão pede a série de Fourier para a função f(x) = -x definida em [-L,L] e estendida periodicamente com período 2L. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Fourier usando os coeficientes a0, an e bn. Vamos precisar da definição da série de Fourier e explorar a simetria da função para simplificar o cálculo.

Passo 2

Uma função 2L-periódica tem a série de Fourier geral:
f(x) = a02 + sumn=1^infty l(an cosl(tfracnpi xLr) + bn sinl(tfracnpi xLr)r)
com
a0 = 1L integral-L^L f(x),dx, an = 1L integral-L^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn = 1L integral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Observamos que f(x) = -x é função ímpar pois f(-x) = -f(x). Em uma série de Fourier, isso implica a0 = 0 e todos os an = 0, restando apenas os termos com seno.

Passo 4

Como o produto de duas funções ímpares é par, para calcular bn usamos:
bn = 2L integral0^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx = -2L integral0^L x sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 5

Para resolver integral0^L x sin(tfracnpi xL),dx, aplicamos integração por partes escolhendo u=x e dv=sin(kx),dx com k = npi/L. Então du=dx e v = -tfracLnpicos(kx).
A integral por partes leva a
integral0^L x sinl(tfracnpi xLr),dx = -L^2npi(-1)^n

Passo 6

Substituindo no coeficiente bn resulta
bn = -2Ll(-L^2npi(-1)^nr) = 2Lnpi(-1)^n

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier de f(x)=-x é
f(x) = sumn=1^infty 2Lnpi(-1)^n sinl(tfracnpi xLr)

Resposta

f(x) = sumn=1^infty 2Lnpi(-1)^n sinl(tfracnpi xLr)

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