Encontre todas as raízes racionais do polinômio
.
Passo 1
O polinômio dado é
. O conteúdo envolve o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de
são da forma
divisores de 24 divididos por divisores de 1. Para resolver, vamos usar esse teorema e divisão sintética para fatorar o polinômio.
Passo 2
Listamos os candidatos a raiz pela forma
. Testamos primeiro
:
Calculamos . Como zerou,
é raiz. Fazemos divisão sintética de
por
para obter um polinômio de grau 4 com coeficientes
, isto é,
Calculamos
Passo 3
Agora aplicamos de novo o Teorema das Raízes Racionais nesse quarto grau. Testamos
:
Passo 4
Portanto,
é raiz. Dividindo sinteticamente por
obtemos o polinômio de terceiro grau com coeficientes
, isto é,
Passo 5
Repetimos o processo no grau 3. Testamos
:
Passo 6
Logo,
é raiz. Dividindo sinteticamente por
ficamos com o polinômio de segundo grau
Passo 7
Por fim, resolvemos
usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando diretamente:
Passo 8
portanto as raízes são
e
.
Juntando tudo, as raízes racionais de são
e
, com
tendo multiplicidade 2.
Juntando tudo, as raízes racionais de
Resposta
As raízes racionais são x = 2, −1, −2 e −3 (sendo −2 de multiplicidade 2).