Encontre todas as raízes racionais do polinômio p(x)=x^5+6 x^4+7 x^3-18 x^2-44 x-24.

Passo 1

O polinômio dado é p(x)=x^5+6x^4+7x^3-18x^2-44x-24. O conteúdo envolve o Teorema das Raízes Racionais, que diz que quaisquer raízes racionais de p(x) são da forma pm divisores de 24 divididos por divisores de 1. Para resolver, vamos usar esse teorema e divisão sintética para fatorar o polinômio.

Passo 2

Listamos os candidatos a raiz pela forma pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm8,pm12,pm24. Testamos primeiro x=2:
Calculamos p(2)=2^5+6cdot2^4+7cdot2^3-18cdot2^2-44cdot2-24=32+96+56-72-88-24=0. Como zerou, x=2 é raiz. Fazemos divisão sintética de p(x) por x-2 para obter um polinômio de grau 4 com coeficientes 1,8,23,28,12, isto é,
x^4+8x^3+23x^2+28x+12

Passo 3

Agora aplicamos de novo o Teorema das Raízes Racionais nesse quarto grau. Testamos x=-1:
(-1)^4+8(-1)^3+23(-1)^2+28(-1)+12=1-8+23-28+12=0

Passo 4

Portanto, x=-1 é raiz. Dividindo sinteticamente por x+1 obtemos o polinômio de terceiro grau com coeficientes 1,7,16,12, isto é,
x^3+7x^2+16x+12

Passo 5

Repetimos o processo no grau 3. Testamos x=-2:
(-2)^3+7(-2)^2+16(-2)+12=-8+28-32+12=0

Passo 6

Logo, x=-2 é raiz. Dividindo sinteticamente por x+2 ficamos com o polinômio de segundo grau
x^2+5x+6

Passo 7

Por fim, resolvemos
x^2+5x+6=0
usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando diretamente:
x^2+5x+6=(x+2)(x+3),

Passo 8

portanto as raízes são x=-2 e x=-3.
Juntando tudo, as raízes racionais de p(x) são 2, -1, -2 e -3, com x=-2 tendo multiplicidade 2.

Resposta

As raízes racionais são x = 2, −1, −2 e −3 (sendo −2 de multiplicidade 2).

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