Use o Teste da Comparação para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.
sumn=1^+infty 1n^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty 1n^n usando o Teste da Comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas e o Teste da Comparação Direta.

Passo 2

O Teste da Comparação Direta afirma que, dado duas sequências positivas (an) e (bn), se 0 <= an <= bn para todo n a partir de um certo índice e sum bn converge, então sum an também converge:
Se 0 <= an <= bn e sum bn conver>=, então sum an conver>= ã

Passo 3

A gente escolhe comparar an = 1n^n com a série geométrica bn = 12^n. Note que para n >= 2 vale
n^n = 2^n l(tfracn2r)^n >= 2^n,
logo
0 <= 1n^n <= 12^n

Passo 4

Sabendo que sumn=1^infty 12^n é uma série geométrica de razão tfrac12<1 (logo converge), pelo Teste da Comparação Direta concluímos que sumn=1^infty 1n^n também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^n converge por comparação com a série geométrica de razão tfrac12.

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