Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=ll0, & x in[-pi,-pi / 3) 1, & x in[-pi / 2, pi / 2) 0, x in[pi / 2, pi)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: temos uma função periódica de período 2π definida por
f(x)=1 quando x∈[−π/2,π/2) e f(x)=0 no restante do intervalo [−π,π). O objetivo é obter a série de Fourier desta função em [−π,π], ou seja, calcular os coeficientes a₀, aₙ e bₙ.

Passo 2

Análise de paridade e implicações: observe que f(−x)=f(x), logo f é função par. Isso implica que todos os coeficientes de senos bₙ serão zero, pois cada termo bₙ
bₙ=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
envolve a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, que dá zero.

Passo 3

Cálculo do coeficiente a₀: pela definição,
[a₀=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x),dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1,dx = \frac{1}{\pi}\bigl[\pi\bigr]=1.
Assim, o termo constante da série é a₀/2=1/2.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes aₙ: para n≥1,
aₙ=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx = 1piintegral-pi/2^pi/2cos(nx),dx
Fazendo a integral,
integral-pi/2^pi/2cos(nx),dx = 2sin(npi/2)n,
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[aₙ=\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr).

Passo 5

Montagem da série de Fourier: como bₙ=0, a₀=1 e aₙ obtido acima, a expansão fica
[f(x)=\frac{a₀}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}aₙ\cos(nx)
=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)\cos(nx).

Passo 6

Observação dos termos não nulos: como sin(npi/2)=0 para n par e alterna ±1 para n ímpar, a série pode ser escrita apenas com termos ímpares:
[f(x)=\frac12+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}{\infty}\frac{(-1)k}{2k+1}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).

Resposta

f(x)=12+sumn=1^infty2npisinl(npi2r)cos(nx)\nou equivalentemente\n f(x)=12+2pisumk=0^infty(-1)^k2k+1cosl((2k+1)xr)

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