(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
sumn=1^+infty(-1)^n+1 an
onde an >= 0, chamadas Séries Alternadas, basta que an 0 e que
an+1 <= an
para todo n.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 nn+2

Passo 1

Temos a série alternada
sumn=1^+infty(-1)^n+1nn+2
O conteúdo é o Teste de Leibniz para séries alternadas, que diz que basta verificar para an=tfracnn+2: (i) an>=0, (ii) an+1<= an, e (iii) anto0.

Passo 2

Vamos calcular o limite de an:
limntoinftynn+2=limntoinfty11+2/n=1
Como esse limite não é zero, a condição necessária para qualquer série infinita (não só alternada) falha. Portanto, não há convergência.

Passo 3

Não precisamos nem verificar a monotonicidade, pois o fracasso da condição anto0 já garante que a série não converge segundo o Teste de Leibniz (e de fato nem pelo teste obrigatório dos termos).

Resposta

A série diverge, pois o termo geral tfracnn+2 não tende a zero.

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