(Teste da Série Alternada). Em 1705 o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz observou que para que haja convergência de séries do tipo
onde
, chamadas Séries Alternadas, basta que
e que
para todo
.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Use o teste de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. Em caso de divergência, justifique.
Passo 1
Temos a série alternada
O conteúdo é o Teste de Leibniz para séries alternadas, que diz que basta verificar para
: (i)
, (ii)
, e (iii)
.
Passo 2
Vamos calcular o limite de
:
Como esse limite não é zero, a condição necessária para qualquer série infinita (não só alternada) falha. Portanto, não há convergência.
Passo 3
Não precisamos nem verificar a monotonicidade, pois o fracasso da condição
já garante que a série não converge segundo o Teste de Leibniz (e de fato nem pelo teste obrigatório dos termos).
Resposta
A série diverge, pois o termo geral
não tende a zero.