Obter a série de Fourier das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de Fourier de uma função periódica de período 2π definida por
f(x)=0 em x∈[−π,0) e f(x)=x em x∈[0,π]. O conteúdo da matéria é Séries de Fourier para funções ímpares, pares ou gerais, e vamos precisar usar as fórmulas de coeficientes
f(x)=0 em x∈[−π,0) e f(x)=x em x∈[0,π]. O conteúdo da matéria é Séries de Fourier para funções ímpares, pares ou gerais, e vamos precisar usar as fórmulas de coeficientes
Passo 2
Primeiro calculamos o coeficiente a_0:
Como f(x)=0 em [−π,0) e f(x)=x em [0,π],
Como f(x)=0 em [−π,0) e f(x)=x em [0,π],
O termo constante na série será a_0/2=π/4.
Passo 3
Agora calculamos a_n para n≥1:
Fazendo integração por partes com u=x e dv=cos(nx)dx:
Logo
Passo 4
Agora calculamos b_n para n≥1:
Integramos por partes com u=x e dv=\sin(nx)dx:
Logo
Passo 5
Finalmente montamos a série de Fourier na forma
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
$$Substituindo os coeficientes obtidos, temos
$$f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(\frac{(-1)n-1}{\pi n2}\cos(nx)+(-1){n+1}\frac{1}{n}\sin(nx)\Bigr).
$$