Obter a série de Fourier das seguintes funções:
f(x)=lll0, & se & x in[-pi, 0) x, & se & x in[0, pi

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Fourier de uma função periódica de período 2π definida por
f(x)=0 em x∈[−π,0) e f(x)=x em x∈[0,π]. O conteúdo da matéria é Séries de Fourier para funções ímpares, pares ou gerais, e vamos precisar usar as fórmulas de coeficientes
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx, an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Primeiro calculamos o coeficiente a_0:
Como f(x)=0 em [−π,0) e f(x)=x em [0,π],
a0=1piintegral-pi^pif(x),dx=1piintegral0^pix,dx=1picdotpi^22=pi2
O termo constante na série será a_0/2=π/4.

Passo 3

Agora calculamos a_n para n≥1:
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx=1piintegral0^pixcos(nx),dx
Fazendo integração por partes com u=x e dv=cos(nx)dx:
integral0^pixcos(nx),dx=l[xsin(nx)nr]0^pi-integral0^pisin(nx)n,dx=0+1n^2(cos(npi)-1)=(-1)^n-1n^2
Logo
an=(-1)^n-1pi n^2

Passo 4

Agora calculamos b_n para n≥1:
bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx=1piintegral0^pixsin(nx),dx
Integramos por partes com u=x e dv=\sin(nx)dx:
integral0^pixsin(nx),dx=-l[xcos(nx)nr]0^pi+integral0^picos(nx)n,dx=-pi(-1)^nn+0= -pi(-1)^nn
Logo
bn=1pil(-pi(-1)^nnr)=(-1)^n+11n

Passo 5

Finalmente montamos a série de Fourier na forma
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
$$Substituindo os coeficientes obtidos, temos
$$f(x)=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(\frac{(-1)n-1}{\pi n2}\cos(nx)+(-1){n+1}\frac{1}{n}\sin(nx)\Bigr).
$$

Resposta

f(x)=pi4+sumn=1^inftyl((-1)^n-1pi n^2cos(nx)+(-1)^n+11nsin(nx)r)

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