Resolva todas as equaçÔes exatas que encontrar na lista a seguir. Se não for exata, não as resolva.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial na forma M(r,theta),dr + N(r,theta),dtheta = 0, onde M(r,theta)=costheta e N(r,theta)=-(rsintheta - e^theta). O conteúdo aqui é equação diferencial exata e vamos precisar usar o critério de exatidão e a construção da função potencial.

Passo 2

Verificação de exatidão: calculamos as derivadas parciais
partial Mpartialtheta = -sintheta
e
partial Npartial r = -sintheta
Como partial M/partialtheta = partial N/partial r, a equação é exata.

Passo 3

Construção da função potencial: integramos M em relação a r
phi(r,theta) = integral costheta,dr = rcostheta + h(theta)
onde h(theta) é uma função de theta a determinar.

Passo 4

Determinação de h(theta): derivamos phi em relação a theta
phitheta = -rsintheta + h'(theta)
E igualamos a N(r,theta)= -rsintheta + e^theta. Assim,
h'(theta) = e^theta implies h(theta) = e^theta

Passo 5

Solução geral implícita: a função potencial é
phi(r,theta) = rcostheta + e^theta
de modo que a solução da equação diferencial exata é dada por phi(r,theta)=C.

Resposta

A solução geral é rcostheta + e^theta = C.

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