Obter a solução geral da EDO
\ddot{y}(t)+3 \dot{y}(t)+2 y(t)=e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
\ddot{y}(t)+3\dot{y}(t)+2y(t)=e^{-t}.
Vamos decompor em solução homogênea mais particular.

Passo 2

Para obter a solução homogênea y_h(t), consideramos a equação associada
\ddot{y}+3\dot{y}+2y=0
e montamos a equação característica
r^2+3r+2=0.
As raízes são r=-1 e r=-2. Logo,
y_h(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo forçante é e^{-t} e r=-1 já é raiz da característica (multiplicidade 1), usamos ansatz
y_p(t)=A\,t\,e^{-t}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t)=A(1-t)e^{-t},\qquad y_p''(t)=-A(2-t)e^{-t}.
Substituindo em \ddot y+3\dot y+2y obtemos
y_p''+3y_p'+2y_p =\bigl[-A(2-t)+3A(1-t)+2A t\bigr]e^{-t} =A\,e^{-t}.

Passo 5

Para que isso seja igual a e^{-t}, basta ter A=1. Portanto
y_p(t)=t\,e^{-t}
e a solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}+t\,e^{-t}.

Resposta

y(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}+t\,e^{-t}.

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