Determine se as seguintes equações são exatas. Se forem, encontre uma solução.
(x \ln y+x y) d x+(y \ln y+x y) d y=0: x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x \ln y + x y)\,dx + (y \ln y + x y)\,dy = 0
no domínio x>0, y>0.
Para verificar se ela é exata, lembramos que, em geral, uma equação
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M,\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N,
o que equivale à condição
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
num domínio simplesmente conexo (aqui x>0,y>0 serve).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x \ln y + x y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{y} + x = \frac{x}{y} + x.

Passo 3

Identificamos
N(x,y) = y \ln y + x y.
Calculamos
\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y = y.

Passo 4

Comparando
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{x}{y} + x \quad\text{com}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = y,
vemos que em geral
\frac{x}{y} + x \neq y,
logo a condição de exatidão não se satisfaz.

Resposta

A equação não é exata, portanto não existe solução pelo método direto de equações exatas.

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