Explique o que é uma equação diferencial exata e apresente um critério para identificála.

Passo 1

O enunciado pede que expliquemos o que é uma equação diferencial exata e que apresentemos um critério para identificá-la. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos precisar usar a noção de derivadas parciais e de função potencial para esclarecer o conceito.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y)\,\mathrm{d}x \;+\; N(x,y)\,\mathrm{d}y = 0
é dita exata se existir uma função \Psi(x,y) (chamada de potencial) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}(x,y) = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}(x,y) = N(x,y).
Nesse caso, a EDO pode ser escrita como
\mathrm{d}\Psi(x,y) = 0,
cuja solução geral é \Psi(x,y)=C.

Passo 3

O critério de identificação de exatidão baseia-se na igualdade cruzada das derivadas parciais de M e N. Em um domínio simplesmente conexo, a EDO
M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y = 0
é exata se, e somente se,
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x,y).
Quando essa condição vale em toda a região considerada, garantimos a existência da função potencial \Psi.

Resposta

Uma equação diferencial
M(x,y)\,\mathrm{d}x + N(x,y)\,\mathrm{d}y = 0
é exata se existe uma função \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x = M e \partial\Psi/\partial y = N.
O critério de exame é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
num domínio simplesmente conexo.

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