Explique o que é uma equação diferencial exata e apresente um critério para identificála.
Passo 1
O enunciado pede que expliquemos o que é uma equação diferencial exata e que apresentemos um critério para identificá-la. O conteúdo é EDO de primeira ordem e vamos precisar usar a noção de derivadas parciais e de função potencial para esclarecer o conceito.
Passo 2
Uma equação diferencial de primeira ordem na forma
é dita exata se existir uma função
(chamada de potencial) tal que
Nesse caso, a EDO pode ser escrita como
cuja solução geral é
.
Passo 3
O critério de identificação de exatidão baseia-se na igualdade cruzada das derivadas parciais de
e
. Em um domínio simplesmente conexo, a EDO
é exata se, e somente se,
Quando essa condição vale em toda a região considerada, garantimos a existência da função potencial
.
Resposta
Uma equação diferencial
é exata se existe uma função
tal que
e
.
O critério de exame é verificar se
O critério de exame é verificar se
num domínio simplesmente conexo.