Obter a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
tipo
tipo
que aparece em cursos de EDOs. Para resolvê-la, vamos usar o método da ansatz do tipo
, pois essa equação tem coeficientes proporcionais a potências de
.
Passo 2
Assumindo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando os fatores
(que nunca é zero para
):
Passo 3
Resolvendo a equação característica
Calculamos o discriminante:
logo as raízes são complexas:
Passo 4
Quando as raízes são
, a solução geral real fica
Aqui
e
, então obtemos a forma final.
Passo 5
Resposta
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias.