Obter a solução geral de
t^2 y^prime prime+4 t y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
tipo
t^2y''+4t y'+6y=0
que aparece em cursos de EDOs. Para resolvê-la, vamos usar o método da ansatz do tipo y=t^r, pois essa equação tem coeficientes proporcionais a potências de t.

Passo 2

Assumindo y=t^r, calculamos as derivadas:
y' = r t^r-1,
y'' = r(r-1) t^r-2
Substituindo na equação original:
t^2igl[r(r-1)t^r-2r] +4tl[r t^r-1r]+6 t^r=0 
Simplificando os fatores t^r (que nunca é zero para t>0):
r(r-1)+4r+6=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2+3r+6=0
Calculamos o discriminante:
De
logo as raízes são complexas:
r=-3pm iraiz152 = -tfrac32pm itfracraiz152

Passo 4

Quando as raízes são r=alphapm ibeta, a solução geral real fica
y(t)=t^alphal(C1cos(betaln t)+C2sin(betaln t)r)
Aqui alpha=-tfrac32 e beta=tfracraiz152, então obtemos a forma final.

Passo 5

Resposta

A solução geral é
y(t)=t^-tfrac32l(C1cosl(tfracraiz152ln tr)+C2sinl(tfracraiz152ln tr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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