[ 1, 0 ] Obter valores aproximados para as expressões abaixo usando expansões em série de potências:
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando expansões em série de potências. O conteúdo principal é a série geométrica e a integração termo a termo de séries de potências, além do critério de séries alternadas para estimar o erro.
Passo 2
Para vale a série geométrica
Em ela converge condicionalmente como série alternada.
Passo 3
Integramos termo a termo em :
Passo 4
Temos então a série alternada
cujo termo geral em módulo é e decresce para zero. Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar após termos satisfaz
Como o erro em truncar em N=4 é no máximo 1/16=0,0625, vemos que beta3 está entre S3 e S4. Para maior precisão podemos levar até N=10:
S10approx0,850998,
com erro <=1/34approx0,029.
Passo 6
Para obter duas casas decimais confiáveis seria necessário cerca de Napprox65 termos (pois 1/(3cdot65+1)approx0,005). Alternativamente, reconhecendo que