[ 1, 0 ] Obter valores aproximados para as expressões abaixo usando expansões em série de potências:
beta3=integral0^1 11+x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
beta3=integral0^111+x^3,dx
usando expansões em série de potências. O conteúdo principal é a série geométrica e a integração termo a termo de séries de potências, além do critério de séries alternadas para estimar o erro.

Passo 2

Para |x|<1 vale a série geométrica
11+x^3=sumn=0^infty(-1)^nx^3n,
Em x=1 ela converge condicionalmente como série alternada.

Passo 3

Integramos termo a termo em [0,1]:
beta3 =integral0^1sumn=0^infty(-1)^nx^3n,dx =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^1x^3n,dx =sumn=0^infty(-1)^n13n+1,

Passo 4

Temos então a série alternada
beta3=sumn=0^infty(-1)^n13n+1,,
cujo termo geral em módulo é an=13n+1 e decresce para zero. Pelo teste de Leibniz, o erro ao truncar após N termos satisfaz
l|beta3-SNr|<= aN+1=13(N+1)+1,

Passo 5

Calculando alguns somatórios parciais:
S0=1, S1=1-tfrac14=0,75, S2=0,75+tfrac17approx0,892857,
S3approx0,892857-tfrac110=0,792857, S4approx0,792857+tfrac113=0,869780
Como o erro em truncar em N=4 é no máximo 1/16=0,0625, vemos que beta3 está entre S3 e S4. Para maior precisão podemos levar até N=10:
S10approx0,850998,
com erro <=1/34approx0,029.

Passo 6

Para obter duas casas decimais confiáveis seria necessário cerca de Napprox65 termos (pois 1/(3cdot65+1)approx0,005). Alternativamente, reconhecendo que
integral0^111+x^3dx =13ln2+pi3raiz3approx0,83565!,
podemos usar esse valor como referência.

Resposta

beta3=sumn=0^infty(-1)^n13n+1approx0,836 (aproximado a três casas decimais).

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