Questão 4. Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usamos o método geral: solução complementar (homogênea) + solução particular, e depois impomos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Construímos a solução homogênea
resolvendo a equação característica
As raízes são
Logo
Passo 3
Procuramos uma solução particular
pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é
, tentamos
Então
Substituindo em
,
Igualando coeficientes em
e termo constante:
Logo
Passo 4
A solução geral da equação é a soma de
e
:
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculemos
:
então
Passo 6
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda,
e então
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos