Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime+y^prime-2 y=2 x y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = 2x, y(0)=0,;y'(0)=1
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usamos o método geral: solução complementar (homogênea) + solução particular, e depois impomos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Construímos a solução homogênea yh resolvendo a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
As raízes são
r = 1, r = -2
Logo
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-2x

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp pelo método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não homogêneo é 2x, tentamos
yp(x) = ax + b
Então
yp'(x) = a, yp''(x) = 0
Substituindo em y'' + y' - 2y = 2x,
0 + a - 2(ax + b) = 2x ;Longrightarrow; -2a,x + (a - 2b) = 2x
Igualando coeficientes em x e termo constante:
-2a = 2 Rightarrow a = -1,
a - 2b = 0 Rightarrow -1 - 2b = 0 Rightarrow b = -tfrac12
Logo
yp(x) = -x - tfrac12

Passo 4

A solução geral da equação é a soma de yh e yp:
y(x) = C1 e^x + C2 e^-2x ;-; x ;-;tfrac12

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1 + C2 - 0 - tfrac12 = 0 ;Longrightarrow; C1 + C2 = tfrac12
Em seguida, calculemos y'(x):
y'(x) = C1 e^x - 2C2 e^-2x - 1,
então
y'(0) = C1 - 2C2 - 1 = 1 ;Longrightarrow; C1 - 2C2 = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac12, C1 - 2C2 = 2,
subtraindo a primeira da segunda,
-3C2 = tfrac32 ;Longrightarrow; C2 = -tfrac12,
e então
C1 = tfrac12 - C2 = tfrac12 + tfrac12 = 1

Passo 7

Substituindo C1=1 e C2=-tfrac12 na solução geral, obtemos
y(x) = e^x - tfrac12 e^-2x ;-; x ;-;tfrac12

Resposta

y(x) = e^x ;-;tfrac12,e^-2x ;-; x ;-;tfrac12

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