[ 2,0 ] Calcular o raio de convergência das séries
S(x)=sumn=0^infty(xR)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
S(x)=sumn=0^inftyl(xRr)^n
e pede o seu raio de convergência. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o conjunto de x em que a série converge.

Passo 2

Identificamos o termo geral
un=l(xRr)^n
Aplicando o teste da razão, calculamos
L ;=;limntoinftyl|un+1unr| =limntoinftyl|(x/R)^n+1(x/R)^nr| =l|xRr|
O teste da razão diz que a série converge se L<1.

Passo 3

A condição de convergência L<1 fica
l|xRr|<1 Long<=ftrightarrow |x|<|R|
Isso mostra que a série converge para todos os x tais que |x|<|R|.

Resposta

O raio de convergência é rho = |R|.

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