Para obter os valores mais prováveis das grandezas raio de sua base ® e de sua altura (H) de um cilindro foram efetuadas medições de R e H com várias posições de uma régua milimetrada comprida e os dados estão dispostos na tabela abaixo.
Tabela b - Valores de raio ® e altura (H) de um cilindro
R (cm) 1,90 2,10 2,05 2,00 2,00
|c|c|c|c|c|c| hline R (cm) & 1,90 & 2,10 & 2,05 & 2,00 & 2,00 hline$H(c m)$ & 13,80 & 13,92 & 14,00 & 13,95 & 14,05 hline 13,80 13,92 14,00 13,95 14,05
Determine:
a) A média e o desvio padrão da média para o raio r e para a altura h.
b) Considerando a incerteza da régua utilizada, represente os valores das grandezas físicas R e de H na forma ( r pm sigmar ) e ( h pm sigmah ), utilizando o número adequado de algarismos significativos.
c) Utilizando o método de propagação de incertezas, determine o volume do cilindro ( V pm sigmav ).

Passo 1

O enunciado fornece cinco medições do raio R e da altura H de um cilindro, feitas com uma régua milimetrada. Precisamos
1. calcular a média bar R,bar H e o desvio padrão da média sigmabar R,sigmabar H;
2. incluir também a incerteza da régua (metade do menor grão: pm0,05 cm) e expressar R e H na forma RpmsigmaR e HpmsigmaH;
3. calcular o volume V=pi R^2H e propagar as incertezas para obter sigmaV.

Passo 2

Calcular as médias
bar R=1,90+2,10+2,05+2,00+2,005 =10,055=2,01 cm,
bar H=13,80+13,92+14,00+13,95+14,055 =69,725=13,944 cm

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral s e o desvio da média sigmabar x=s/raizn para R e H.
Para R:
sR =raiz14sumi=1^5(Ri-bar R)^2 =raiz0,02204=0,0742 cm, sigmabar R=0,0742raiz5=0,0332 cm
Para H:
sH =raiz14sumi=1^5(Hi-bar H)^2 =raiz0,035724=0,0945 cm, sigmabar H=0,0945raiz5=0,0423 cm

Passo 4

Incluir a incerteza da régua ( sigmarm inst=0,05 cm) combinando-a com o erro aleatório:
sigmaR=raizsigmabar R^2+sigmarm inst^2 =raiz0,0332^2+0,05^2=0,0600 cm,
sigmaH=raizsigmabar H^2+sigmarm inst^2 =raiz0,0423^2+0,05^2=0,0654 cm
Arredondando para o algarismo relevante ( pm0,06 e pm0,07) temos:
R=(2,01pm0,06) cm, H=(13,94pm0,07) cm

Passo 5

Calcular o volume e propagar incertezas.
V=pi,bar R^2,bar H =pi,(2,01)^2,(13,94)=176,9 cm^3
As derivadas parciais são partial V/partial R=2pi R H e partial V/partial H=pi R^2, logo
sigmaV =raizl(2pi R H,sigmaRr)^2 +l(pi R^2,sigmaHr)^2 =raiz10,565^2 +0,888^2 =10,6 cm^3

Resposta

a) bar r=2,01 cm, sigmabar r=0,033 cm; bar h=13,944 cm, sigmabar h=0,042 cm.
b) R=(2,01pm0,06) cm, H=(13,94pm0,07) cm.
c) V=(176,9pm10,6) c m^3.

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