Para obter os valores mais prováveis das grandezas raio de sua base ® e de sua altura (H) de um cilindro foram efetuadas medições de R e H com várias posições de uma régua milimetrada comprida e os dados estão dispostos na tabela abaixo.
Tabela b - Valores de raio ® e altura (H) de um cilindro
R (cm)
1,90
2,10
2,05
2,00
2,00
13,80
13,92
14,00
13,95
14,05
Determine:
a) A média e o desvio padrão da média para o raio r e para a altura h.
b) Considerando a incerteza da régua utilizada, represente os valores das grandezas físicas R e de H na forma ( ) e ( ), utilizando o número adequado de algarismos significativos.
c) Utilizando o método de propagação de incertezas, determine o volume do cilindro ( ).
Passo 1
O enunciado fornece cinco medições do raio e da altura de um cilindro, feitas com uma régua milimetrada. Precisamos . calcular a média e o desvio padrão da média ; . incluir também a incerteza da régua (metade do menor grão: cm) e expressar e na forma e ; . calcular o volume e propagar as incertezas para obter .
Passo 2
Calcular as médias
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral e o desvio da média para e .
Para :
Para H:
sH =raiz14sumi=1^5(Hi-bar H)^2 =raiz0,035724=0,0945 cm, sigmabar H=0,0945raiz5=0,0423 cm
Passo 4
Incluir a incerteza da régua (sigmarm inst=0,05 cm) combinando-a com o erro aleatório:
sigmaR=raizsigmabar R^2+sigmarm inst^2 =raiz0,0332^2+0,05^2=0,0600 cm,
sigmaH=raizsigmabar H^2+sigmarm inst^2 =raiz0,0423^2+0,05^2=0,0654 cm
Arredondando para o algarismo relevante (pm0,06 e pm0,07) temos:
R=(2,01pm0,06) cm, H=(13,94pm0,07) cm
Passo 5
Calcular o volume e propagar incertezas.
V=pi,bar R^2,bar H =pi,(2,01)^2,(13,94)=176,9 cm^3
As derivadas parciais são partial V/partial R=2pi R H e partial V/partial H=pi R^2, logo
sigmaV =raizl(2pi R H,sigmaRr)^2 +l(pi R^2,sigmaHr)^2 =raiz10,565^2 +0,888^2 =10,6 cm^3
Resposta
a) bar r=2,01 cm, sigmabar r=0,033 cm; bar h=13,944 cm, sigmabar h=0,042 cm.
b) R=(2,01pm0,06) cm, H=(13,94pm0,07) cm.
c) V=(176,9pm10,6) cm^3.