Se
e
é a matriz adjunta de
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Dado que
. -
é a matriz adjunta (adjugate) de .
A pergunta implícita é: a igualdadeé verdadeira sob essas hipóteses?
Passo 2
Vamos recordar a definição da matriz adjunta (adjugate). Seja
uma matriz quadrada de ordem
.
- O menor complementar
é o determinante da matriz que se obtém de eliminando a linha e a coluna . - O cofator
é definido por . - A matriz dos cofatores é a matriz
. - A matriz adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
ou seja, a entrada
de
é
.
Passo 3
Vamos usar a expansão de Laplace (expansão de cofactores) numa linha fixa. A expansão do determinante de
pela linha
diz:
Isto é uma propriedade básica dos determinantes: multiplicar cada elemento da linha
pelo respectivo cofator e somar dá o determinante.
Passo 4
Calculemos a entrada
do produto
. Pelas regras de multiplicação de matrizes,
Como
(porque
), temos
Passo 5
Interpretação do somatório
:
- Se
, então é exatamente a expansão de Laplace do determinante pela linha . Logo
- Se
, considere a matriz que resulta de substituir na matriz a linha pela linha . O determinante dessa matriz pode ser expandido pela linha (que agora é igual à linha original) e dá exatamente . Mas essa nova matriz tem duas linhas iguais (linhas e ), portanto o seu determinante vale . Assim
Juntando os dois casos, obtemos a matriz identidade multiplicada por
:
Passo 6
Aplicando a hipótese
obtemos imediatamente
Portanto, sob a hipótese dada, a igualdade
(com
) é verdadeira.
Passo 7
Para intuição rápida, veja o caso
. Seja
A adjunta é
Multiplicando,
Se
, o produto é exatamente
.]
Resposta
Verdadeiro.