Se \operatorname{det}(A)=1 e A^{\prime} é a matriz adjunta de A, então A A^{\prime}=I.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Dado que \det(A)=1.
  • A' é a matriz adjunta (adjugate) de A.
    A pergunta implícita é: a igualdade A\,A'=I é verdadeira sob essas hipóteses?

Passo 2

Vamos recordar a definição da matriz adjunta (adjugate). Seja A=(a_{ij}) uma matriz quadrada de ordem n.
  • O menor complementar M_{ij} é o determinante da matriz que se obtém de A eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A matriz dos cofatores é a matriz C=(C_{ij}).
  • A matriz adjunta (adjugate) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T},
ou seja, a entrada (i,j) de \operatorname{adj}(A) é \operatorname{adj}(A)_{ij}=C_{ji}.

Passo 3

Vamos usar a expansão de Laplace (expansão de cofactores) numa linha fixa. A expansão do determinante de A pela linha j diz:
\det(A)=\sum_{k=1}^{n} a_{jk}\,C_{jk}.
Isto é uma propriedade básica dos determinantes: multiplicar cada elemento da linha j pelo respectivo cofator e somar dá o determinante.

Passo 4

Calculemos a entrada (i,j) do produto A\,\operatorname{adj}(A). Pelas regras de multiplicação de matrizes,
\bigl(A\,\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,\operatorname{adj}(A)_{kj}.
Como \operatorname{adj}(A)_{kj}=C_{jk} (porque \operatorname{adj}(A)=C^{T}), temos
\bigl(A\,\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}.

Passo 5

Interpretação do somatório \sum_{k} a_{ik}C_{jk}:
  • Se i=j, então \sum_{k} a_{ik}C_{ik} é exatamente a expansão de Laplace do determinante pela linha i. Logo
\bigl(A\,\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ii}=\det(A).
  • Se i\neq j, considere a matriz que resulta de substituir na matriz A a linha j pela linha i. O determinante dessa matriz pode ser expandido pela linha j (que agora é igual à linha i original) e dá exatamente \sum_{k} a_{ik}C_{jk}. Mas essa nova matriz tem duas linhas iguais (linhas i e j), portanto o seu determinante vale 0. Assim
\bigl(A\,\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ij}=0\quad\text{para }i\neq j.
Juntando os dois casos, obtemos a matriz identidade multiplicada por \det(A):
A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I.

Passo 6

Aplicando a hipótese \det(A)=1 obtemos imediatamente
A\,\operatorname{adj}(A)=1\cdot I=I.
Portanto, sob a hipótese dada, a igualdade A\,A'=I (com A'=\operatorname{adj}(A)) é verdadeira.

Passo 7

Para intuição rápida, veja o caso 2\times2. Seja
A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix}, \qquad \det(A)=ad-bc.
A adjunta é
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix}.
Multiplicando,
A\,\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}d&-b\\[4pt]-c&a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ad-bc&0\\[4pt]0&ad-bc\end{pmatrix}=(ad-bc)\,I.
Se ad-bc=1, o produto é exatamente I.]

Resposta

Verdadeiro.

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